Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60493 / 83399
↖ ↑ ↗
← S 43.975028°
W 13.851013°		 ← 219.75 m → S 43.975028°
W 13.848267°		 →
↑
219.80 m
↓
↑
219.80 m
↓
S 43.977005°
W 13.851013°		 ← 219.74 m →
48 300 m²		 S 43.977005°
W 13.848267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461528778076172 y=0.636287689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461528778076172 × 217)
    floor (0.461528778076172 × 131072)
    floor (60493.5)     		tx = 60493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636287689208984 × 217)
    floor (0.636287689208984 × 131072)
    floor (83399.5)     		ty = 83399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60493 / 83399 ti = "17/60493/83399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60493/83399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60493 ÷ 217
    60493 ÷ 131072     		x = 0.461524963378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83399 ÷ 217
    83399 ÷ 131072     		y = 0.636283874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461524963378906 × 2 - 1) × π
    -0.0769500732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24174578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636283874511719 × 2 - 1) × π
    -0.272567749023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.856296837913063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24174578} λ = -0.24174578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856296837913063))-π/2
    2×atan(0.424732025179955)-π/2
    2×0.40164364846263-π/2
    0.803287296925259-1.57079632675     		φ = -0.76750903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24174578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.851013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76750903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.975028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60493 KachelY 83399 -0.24174578 -0.76750903 -13.851013 -43.975028
    Oben rechts KachelX + 1 60494 KachelY 83399 -0.24169785 -0.76750903 -13.848267 -43.975028
    Unten links KachelX 60493 KachelY + 1 83400 -0.24174578 -0.76754353 -13.851013 -43.977005
    Unten rechts KachelX + 1 60494 KachelY + 1 83400 -0.24169785 -0.76754353 -13.848267 -43.977005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76750903--0.76754353) × R
    3.44999999999374e-05 × 6371000     		dl = 219.799499999601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76750903--0.76754353) × R
    3.44999999999374e-05 × 6371000     		dr = 219.799499999601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24174578--0.24169785) × cos(-0.76750903) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.719642492520902 × 6371000     		do = 219.75149239045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24174578--0.24169785) × cos(-0.76754353) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.719618537197484 × 6371000     		du = 219.744177344262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76750903)-sin(-0.76754353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719642492520902-0.719618537197484)×R²
    abs(-0.24169785--0.24174578)×2.39553234171463e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39553234171463e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39553234171463e-05×40589641000000     		ar = 48300.4642346928m²