Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60492 / 82859
↖ ↑ ↗
← S 42.898101°
W 13.853760°		 ← 223.74 m → S 42.898101°
W 13.851013°		 →
↑
223.75 m
↓
↑
223.75 m
↓
S 42.900113°
W 13.853760°		 ← 223.74 m →
50 062 m²		 S 42.900113°
W 13.851013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461521148681641 y=0.632167816162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461521148681641 × 217)
    floor (0.461521148681641 × 131072)
    floor (60492.5)     		tx = 60492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632167816162109 × 217)
    floor (0.632167816162109 × 131072)
    floor (82859.5)     		ty = 82859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60492 / 82859 ti = "17/60492/82859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60492/82859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60492 ÷ 217
    60492 ÷ 131072     		x = 0.461517333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82859 ÷ 217
    82859 ÷ 131072     		y = 0.632164001464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461517333984375 × 2 - 1) × π
    -0.07696533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24179372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632164001464844 × 2 - 1) × π
    -0.264328002929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.830410912118233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24179372} λ = -0.24179372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830410912118233))-π/2
    2×atan(0.43587014519379)-π/2
    2×0.411041613922909-π/2
    0.822083227845817-1.57079632675     		φ = -0.74871310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24179372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.853760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74871310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.898101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60492 KachelY 82859 -0.24179372 -0.74871310 -13.853760 -42.898101
    Oben rechts KachelX + 1 60493 KachelY 82859 -0.24174578 -0.74871310 -13.851013 -42.898101
    Unten links KachelX 60492 KachelY + 1 82860 -0.24179372 -0.74874822 -13.853760 -42.900113
    Unten rechts KachelX + 1 60493 KachelY + 1 82860 -0.24174578 -0.74874822 -13.851013 -42.900113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74871310--0.74874822) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000     		dl = 223.749519999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74871310--0.74874822) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000     		dr = 223.749519999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24179372--0.24174578) × cos(-0.74871310) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.732565463672839 × 6371000     		do = 223.744348840703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24179372--0.24174578) × cos(-0.74874822) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.732541557156985 × 6371000     		du = 223.737047175407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74871310)-sin(-0.74874822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732565463672839-0.732541557156985)×R²
    abs(-0.24174578--0.24179372)×2.39065158542662e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39065158542662e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39065158542662e-05×40589641000000     		ar = 50061.8737888838m²