Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60491 / 85343
↖ ↑ ↗
← S 47.693125°
W 13.856506°		 ← 205.58 m → S 47.693125°
W 13.853760°		 →
↑
205.59 m
↓
↑
205.59 m
↓
S 47.694974°
W 13.856506°		 ← 205.58 m →
42 265 m²		 S 47.694974°
W 13.853760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461513519287109 y=0.651119232177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461513519287109 × 217)
    floor (0.461513519287109 × 131072)
    floor (60491.5)     		tx = 60491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651119232177734 × 217)
    floor (0.651119232177734 × 131072)
    floor (85343.5)     		ty = 85343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60491 / 85343 ti = "17/60491/85343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60491/85343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60491 ÷ 217
    60491 ÷ 131072     		x = 0.461509704589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85343 ÷ 217
    85343 ÷ 131072     		y = 0.651115417480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461509704589844 × 2 - 1) × π
    -0.0769805908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24184166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651115417480469 × 2 - 1) × π
    -0.302230834960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.949486170774452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24184166} λ = -0.24184166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.949486170774452))-π/2
    2×atan(0.38693979335759)-π/2
    2×0.369197126854267-π/2
    0.738394253708534-1.57079632675     		φ = -0.83240207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24184166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.856506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83240207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.693125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60491 KachelY 85343 -0.24184166 -0.83240207 -13.856506 -47.693125
    Oben rechts KachelX + 1 60492 KachelY 85343 -0.24179372 -0.83240207 -13.853760 -47.693125
    Unten links KachelX 60491 KachelY + 1 85344 -0.24184166 -0.83243434 -13.856506 -47.694974
    Unten rechts KachelX + 1 60492 KachelY + 1 85344 -0.24179372 -0.83243434 -13.853760 -47.694974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83240207--0.83243434) × R
    3.22700000000564e-05 × 6371000     		dl = 205.592170000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83240207--0.83243434) × R
    3.22700000000564e-05 × 6371000     		dr = 205.592170000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24184166--0.24179372) × cos(-0.83240207) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67310125197178 × 6371000     		do = 205.582447978511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24184166--0.24179372) × cos(-0.83243434) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.673077386331862 × 6371000     		du = 205.575158797778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83240207)-sin(-0.83243434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67310125197178-0.673077386331862)×R²
    abs(-0.24179372--0.24184166)×2.38656399181858e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38656399181858e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38656399181858e-05×40589641000000     		ar = 42265.3922983384m²