Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60491 / 82938
↖ ↑ ↗
← S 43.056848°
W 13.856506°		 ← 223.17 m → S 43.056848°
W 13.853760°		 →
↑
223.11 m
↓
↑
223.11 m
↓
S 43.058854°
W 13.856506°		 ← 223.16 m →
49 791 m²		 S 43.058854°
W 13.853760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461513519287109 y=0.632770538330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461513519287109 × 217)
    floor (0.461513519287109 × 131072)
    floor (60491.5)     		tx = 60491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632770538330078 × 217)
    floor (0.632770538330078 × 131072)
    floor (82938.5)     		ty = 82938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60491 / 82938 ti = "17/60491/82938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60491/82938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60491 ÷ 217
    60491 ÷ 131072     		x = 0.461509704589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82938 ÷ 217
    82938 ÷ 131072     		y = 0.632766723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461509704589844 × 2 - 1) × π
    -0.0769805908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24184166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632766723632812 × 2 - 1) × π
    -0.265533447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.834197927188217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24184166} λ = -0.24184166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834197927188217))-π/2
    2×atan(0.434222619955833)-π/2
    2×0.409656283796909-π/2
    0.819312567593817-1.57079632675     		φ = -0.75148376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24184166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.856506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75148376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.056848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60491 KachelY 82938 -0.24184166 -0.75148376 -13.856506 -43.056848
    Oben rechts KachelX + 1 60492 KachelY 82938 -0.24179372 -0.75148376 -13.853760 -43.056848
    Unten links KachelX 60491 KachelY + 1 82939 -0.24184166 -0.75151878 -13.856506 -43.058854
    Unten rechts KachelX + 1 60492 KachelY + 1 82939 -0.24179372 -0.75151878 -13.853760 -43.058854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75148376--0.75151878) × R
    3.50200000001077e-05 × 6371000     		dl = 223.112420000686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75148376--0.75151878) × R
    3.50200000001077e-05 × 6371000     		dr = 223.112420000686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24184166--0.24179372) × cos(-0.75148376) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.730676675495975 × 6371000     		do = 223.16746431421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24184166--0.24179372) × cos(-0.75151878) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.730652766065357 × 6371000     		du = 223.160161758671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75148376)-sin(-0.75151878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730676675495975-0.730652766065357)×R²
    abs(-0.24179372--0.24184166)×2.39094306184739e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39094306184739e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39094306184739e-05×40589641000000     		ar = 49790.618388084m²