Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60491 / 41033
↖ ↑ ↗
← N 55.663644°
W 13.856506°		 ← 172.28 m → N 55.663644°
W 13.853760°		 →
↑
172.27 m
↓
↑
172.27 m
↓
N 55.662095°
W 13.856506°		 ← 172.28 m →
29 679 m²		 N 55.662095°
W 13.853760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461513519287109 y=0.313060760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461513519287109 × 217)
    floor (0.461513519287109 × 131072)
    floor (60491.5)     		tx = 60491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313060760498047 × 217)
    floor (0.313060760498047 × 131072)
    floor (41033.5)     		ty = 41033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60491 / 41033 ti = "17/60491/41033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60491/41033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60491 ÷ 217
    60491 ÷ 131072     		x = 0.461509704589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41033 ÷ 217
    41033 ÷ 131072     		y = 0.313056945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461509704589844 × 2 - 1) × π
    -0.0769805908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24184166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313056945800781 × 2 - 1) × π
    0.373886108398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.17459785139024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24184166} λ = -0.24184166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17459785139024))-π/2
    2×atan(3.23684099096169)-π/2
    2×1.27115509416209-π/2
    2.54231018832418-1.57079632675     		φ = 0.97151386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24184166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.856506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97151386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.663644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60491 KachelY 41033 -0.24184166 0.97151386 -13.856506 55.663644
    Oben rechts KachelX + 1 60492 KachelY 41033 -0.24179372 0.97151386 -13.853760 55.663644
    Unten links KachelX 60491 KachelY + 1 41034 -0.24184166 0.97148682 -13.856506 55.662095
    Unten rechts KachelX + 1 60492 KachelY + 1 41034 -0.24179372 0.97148682 -13.853760 55.662095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97151386-0.97148682) × R
    2.70399999999782e-05 × 6371000     		dl = 172.271839999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97151386-0.97148682) × R
    2.70399999999782e-05 × 6371000     		dr = 172.271839999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24184166--0.24179372) × cos(0.97151386) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.564050122382616 × 6371000     		do = 172.275426025888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24184166--0.24179372) × cos(0.97148682) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.564072450200937 × 6371000     		du = 172.282245516321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97151386)-sin(0.97148682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564050122382616-0.564072450200937)×R²
    abs(-0.24179372--0.24184166)×2.23278183211217e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23278183211217e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23278183211217e-05×40589641000000     		ar = 29678.7920331131m²