Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60490 / 41030
↖ ↑ ↗
← N 55.668291°
W 13.859253°		 ← 172.25 m → N 55.668291°
W 13.856506°		 →
↑
172.21 m
↓
↑
172.21 m
↓
N 55.666742°
W 13.859253°		 ← 172.26 m →
29 664 m²		 N 55.666742°
W 13.856506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461505889892578 y=0.313037872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461505889892578 × 217)
    floor (0.461505889892578 × 131072)
    floor (60490.5)     		tx = 60490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313037872314453 × 217)
    floor (0.313037872314453 × 131072)
    floor (41030.5)     		ty = 41030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60490 / 41030 ti = "17/60490/41030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60490/41030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60490 ÷ 217
    60490 ÷ 131072     		x = 0.461502075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41030 ÷ 217
    41030 ÷ 131072     		y = 0.313034057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461502075195312 × 2 - 1) × π
    -0.076995849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24188960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313034057617188 × 2 - 1) × π
    0.373931884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1747416620891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24188960} λ = -0.24188960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1747416620891))-π/2
    2×atan(3.2373065167997)-π/2
    2×1.27119564997505-π/2
    2.54239129995009-1.57079632675     		φ = 0.97159497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24188960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.859253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97159497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.668291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60490 KachelY 41030 -0.24188960 0.97159497 -13.859253 55.668291
    Oben rechts KachelX + 1 60491 KachelY 41030 -0.24184166 0.97159497 -13.856506 55.668291
    Unten links KachelX 60490 KachelY + 1 41031 -0.24188960 0.97156794 -13.859253 55.666742
    Unten rechts KachelX + 1 60491 KachelY + 1 41031 -0.24184166 0.97156794 -13.856506 55.666742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97159497-0.97156794) × R
    2.70299999999279e-05 × 6371000     		dl = 172.208129999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97159497-0.97156794) × R
    2.70299999999279e-05 × 6371000     		dr = 172.208129999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24188960--0.24184166) × cos(0.97159497) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.56398314471111 × 6371000     		do = 172.254969320905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24188960--0.24184166) × cos(0.97156794) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.564005465508755 × 6371000     		du = 172.261786667043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97159497)-sin(0.97156794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56398314471111-0.564005465508755)×R²
    abs(-0.24184166--0.24188960)×2.23207976444151e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23207976444151e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23207976444151e-05×40589641000000     		ar = 29664.2931530166m²