Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60490 / 41029
↖ ↑ ↗
← N 55.669840°
W 13.859253°		 ← 172.25 m → N 55.669840°
W 13.856506°		 →
↑
172.27 m
↓
↑
172.27 m
↓
N 55.668291°
W 13.859253°		 ← 172.25 m →
29 674 m²		 N 55.668291°
W 13.856506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461505889892578 y=0.313030242919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461505889892578 × 217)
    floor (0.461505889892578 × 131072)
    floor (60490.5)     		tx = 60490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313030242919922 × 217)
    floor (0.313030242919922 × 131072)
    floor (41029.5)     		ty = 41029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60490 / 41029 ti = "17/60490/41029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60490/41029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60490 ÷ 217
    60490 ÷ 131072     		x = 0.461502075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41029 ÷ 217
    41029 ÷ 131072     		y = 0.313026428222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461502075195312 × 2 - 1) × π
    -0.076995849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24188960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313026428222656 × 2 - 1) × π
    0.373947143554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.17478959898872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24188960} λ = -0.24188960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17478959898872))-π/2
    2×atan(3.23746170695687)-π/2
    2×1.27120916750913-π/2
    2.54241833501825-1.57079632675     		φ = 0.97162201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24188960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.859253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97162201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.669840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60490 KachelY 41029 -0.24188960 0.97162201 -13.859253 55.669840
    Oben rechts KachelX + 1 60491 KachelY 41029 -0.24184166 0.97162201 -13.856506 55.669840
    Unten links KachelX 60490 KachelY + 1 41030 -0.24188960 0.97159497 -13.859253 55.668291
    Unten rechts KachelX + 1 60491 KachelY + 1 41030 -0.24184166 0.97159497 -13.856506 55.668291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97162201-0.97159497) × R
    2.70400000000892e-05 × 6371000     		dl = 172.271840000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97162201-0.97159497) × R
    2.70400000000892e-05 × 6371000     		dr = 172.271840000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24188960--0.24184166) × cos(0.97162201) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563960815243393 × 6371000     		do = 172.248149326703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24188960--0.24184166) × cos(0.97159497) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.56398314471111 × 6371000     		du = 172.254969320905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97162201)-sin(0.97159497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563960815243393-0.56398314471111)×R²
    abs(-0.24184166--0.24188960)×2.2329467717852e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2329467717852e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2329467717852e-05×40589641000000     		ar = 29674.0930692985m²