Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60489 / 80824
↖ ↑ ↗
← S 38.668356°
W 13.861999°		 ← 238.42 m → S 38.668356°
W 13.859253°		 →
↑
238.47 m
↓
↑
238.47 m
↓
S 38.670501°
W 13.861999°		 ← 238.41 m →
56 854 m²		 S 38.670501°
W 13.859253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461498260498047 y=0.616641998291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461498260498047 × 217)
    floor (0.461498260498047 × 131072)
    floor (60489.5)     		tx = 60489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616641998291016 × 217)
    floor (0.616641998291016 × 131072)
    floor (80824.5)     		ty = 80824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60489 / 80824 ti = "17/60489/80824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60489/80824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60489 ÷ 217
    60489 ÷ 131072     		x = 0.461494445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80824 ÷ 217
    80824 ÷ 131072     		y = 0.61663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461494445800781 × 2 - 1) × π
    -0.0770111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24193753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61663818359375 × 2 - 1) × π
    -0.2332763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.732859321391419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24193753} λ = -0.24193753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.732859321391419))-π/2
    2×atan(0.480533025506063)-π/2
    2×0.447953098253087-π/2
    0.895906196506175-1.57079632675     		φ = -0.67489013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24193753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.861999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67489013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.668356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60489 KachelY 80824 -0.24193753 -0.67489013 -13.861999 -38.668356
    Oben rechts KachelX + 1 60490 KachelY 80824 -0.24188960 -0.67489013 -13.859253 -38.668356
    Unten links KachelX 60489 KachelY + 1 80825 -0.24193753 -0.67492756 -13.861999 -38.670501
    Unten rechts KachelX + 1 60490 KachelY + 1 80825 -0.24188960 -0.67492756 -13.859253 -38.670501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67489013--0.67492756) × R
    3.7430000000005e-05 × 6371000     		dl = 238.466530000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67489013--0.67492756) × R
    3.7430000000005e-05 × 6371000     		dr = 238.466530000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24193753--0.24188960) × cos(-0.67489013) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.780775603888378 × 6371000     		do = 238.419223377839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24193753--0.24188960) × cos(-0.67492756) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.78075221664563 × 6371000     		du = 238.412081801917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67489013)-sin(-0.67492756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780775603888378-0.78075221664563)×R²
    abs(-0.24188960--0.24193753)×2.33872427478632e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33872427478632e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33872427478632e-05×40589641000000     		ar = 56854.1533774974m²