Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60489 / 40141
↖ ↑ ↗
← N 57.021299°
W 13.861999°		 ← 166.22 m → N 57.021299°
W 13.859253°		 →
↑
166.28 m
↓
↑
166.28 m
↓
N 57.019804°
W 13.861999°		 ← 166.22 m →
27 640 m²		 N 57.019804°
W 13.859253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461498260498047 y=0.306255340576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461498260498047 × 217)
    floor (0.461498260498047 × 131072)
    floor (60489.5)     		tx = 60489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306255340576172 × 217)
    floor (0.306255340576172 × 131072)
    floor (40141.5)     		ty = 40141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60489 / 40141 ti = "17/60489/40141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60489/40141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60489 ÷ 217
    60489 ÷ 131072     		x = 0.461494445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40141 ÷ 217
    40141 ÷ 131072     		y = 0.306251525878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461494445800781 × 2 - 1) × π
    -0.0770111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24193753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306251525878906 × 2 - 1) × π
    0.387496948242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.21735756585133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24193753} λ = -0.24193753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21735756585133))-π/2
    2×atan(3.37824912812537)-π/2
    2×1.2830028725887-π/2
    2.56600574517739-1.57079632675     		φ = 0.99520942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24193753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.861999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99520942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.021299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60489 KachelY 40141 -0.24193753 0.99520942 -13.861999 57.021299
    Oben rechts KachelX + 1 60490 KachelY 40141 -0.24188960 0.99520942 -13.859253 57.021299
    Unten links KachelX 60489 KachelY + 1 40142 -0.24193753 0.99518332 -13.861999 57.019804
    Unten rechts KachelX + 1 60490 KachelY + 1 40142 -0.24188960 0.99518332 -13.859253 57.019804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99520942-0.99518332) × R
    2.61000000000289e-05 × 6371000     		dl = 166.283100000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99520942-0.99518332) × R
    2.61000000000289e-05 × 6371000     		dr = 166.283100000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24193753--0.24188960) × cos(0.99520942) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.544327224655332 × 6371000     		do = 166.216866305024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24193753--0.24188960) × cos(0.99518332) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.544349119054643 × 6371000     		du = 166.223552023243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99520942)-sin(0.99518332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544327224655332-0.544349119054643)×R²
    abs(-0.24188960--0.24193753)×2.18943993115506e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18943993115506e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18943993115506e-05×40589641000000     		ar = 27639.6116642039m²