Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60488 / 82831
↖ ↑ ↗
← S 42.841738°
W 13.864746°		 ← 223.95 m → S 42.841738°
W 13.861999°		 →
↑
223.88 m
↓
↑
223.88 m
↓
S 42.843751°
W 13.864746°		 ← 223.94 m →
50 136 m²		 S 42.843751°
W 13.861999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461490631103516 y=0.631954193115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461490631103516 × 217)
    floor (0.461490631103516 × 131072)
    floor (60488.5)     		tx = 60488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631954193115234 × 217)
    floor (0.631954193115234 × 131072)
    floor (82831.5)     		ty = 82831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60488 / 82831 ti = "17/60488/82831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60488/82831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60488 ÷ 217
    60488 ÷ 131072     		x = 0.46148681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82831 ÷ 217
    82831 ÷ 131072     		y = 0.631950378417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46148681640625 × 2 - 1) × π
    -0.0770263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24198547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631950378417969 × 2 - 1) × π
    -0.263900756835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.829068678928871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24198547} λ = -0.24198547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829068678928871))-π/2
    2×atan(0.43645557737428)-π/2
    2×0.411533475344725-π/2
    0.82306695068945-1.57079632675     		φ = -0.74772938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24198547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.864746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74772938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.841738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60488 KachelY 82831 -0.24198547 -0.74772938 -13.864746 -42.841738
    Oben rechts KachelX + 1 60489 KachelY 82831 -0.24193753 -0.74772938 -13.861999 -42.841738
    Unten links KachelX 60488 KachelY + 1 82832 -0.24198547 -0.74776452 -13.864746 -42.843751
    Unten rechts KachelX + 1 60489 KachelY + 1 82832 -0.24193753 -0.74776452 -13.861999 -42.843751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74772938--0.74776452) × R
    3.51400000000446e-05 × 6371000     		dl = 223.876940000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74772938--0.74776452) × R
    3.51400000000446e-05 × 6371000     		dr = 223.876940000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24198547--0.24193753) × cos(-0.74772938) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.733234723956257 × 6371000     		do = 223.948758158018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24198547--0.24193753) × cos(-0.74776452) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.733210829160377 × 6371000     		du = 223.941460072305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74772938)-sin(-0.74776452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733234723956257-0.733210829160377)×R²
    abs(-0.24193753--0.24198547)×2.38947958793867e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38947958793867e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38947958793867e-05×40589641000000     		ar = 50136.1457619284m²