Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60488 / 40104
↖ ↑ ↗
← N 57.076574°
W 13.864746°		 ← 166 m → N 57.076574°
W 13.861999°		 →
↑
165.96 m
↓
↑
165.96 m
↓
N 57.075082°
W 13.864746°		 ← 166.01 m →
27 551 m²		 N 57.075082°
W 13.861999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461490631103516 y=0.305973052978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461490631103516 × 217)
    floor (0.461490631103516 × 131072)
    floor (60488.5)     		tx = 60488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305973052978516 × 217)
    floor (0.305973052978516 × 131072)
    floor (40104.5)     		ty = 40104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60488 / 40104 ti = "17/60488/40104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60488/40104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60488 ÷ 217
    60488 ÷ 131072     		x = 0.46148681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40104 ÷ 217
    40104 ÷ 131072     		y = 0.30596923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46148681640625 × 2 - 1) × π
    -0.0770263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24198547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30596923828125 × 2 - 1) × π
    0.3880615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21913123113727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24198547} λ = -0.24198547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21913123113727))-π/2
    2×atan(3.38424632827183)-π/2
    2×1.28348524072436-π/2
    2.56697048144873-1.57079632675     		φ = 0.99617415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24198547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.864746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99617415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.076574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60488 KachelY 40104 -0.24198547 0.99617415 -13.864746 57.076574
    Oben rechts KachelX + 1 60489 KachelY 40104 -0.24193753 0.99617415 -13.861999 57.076574
    Unten links KachelX 60488 KachelY + 1 40105 -0.24198547 0.99614810 -13.864746 57.075082
    Unten rechts KachelX + 1 60489 KachelY + 1 40105 -0.24193753 0.99614810 -13.861999 57.075082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99617415-0.99614810) × R
    2.60499999999997e-05 × 6371000     		dl = 165.964549999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99617415-0.99614810) × R
    2.60499999999997e-05 × 6371000     		dr = 165.964549999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24198547--0.24193753) × cos(0.99617415) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543517685549478 × 6371000     		do = 166.004291312024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24198547--0.24193753) × cos(0.99614810) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.543539551675559 × 6371000     		du = 166.010969789763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99617415)-sin(0.99614810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543517685549478-0.543539551675559)×R²
    abs(-0.24193753--0.24198547)×2.1866126081127e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1866126081127e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1866126081127e-05×40589641000000     		ar = 27551.3817025982m²