Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60487 / 85327
↖ ↑ ↗
← S 47.663537°
W 13.867493°		 ← 205.70 m → S 47.663537°
W 13.864746°		 →
↑
205.72 m
↓
↑
205.72 m
↓
S 47.665387°
W 13.867493°		 ← 205.69 m →
42 316 m²		 S 47.665387°
W 13.864746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461483001708984 y=0.650997161865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461483001708984 × 217)
    floor (0.461483001708984 × 131072)
    floor (60487.5)     		tx = 60487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650997161865234 × 217)
    floor (0.650997161865234 × 131072)
    floor (85327.5)     		ty = 85327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60487 / 85327 ti = "17/60487/85327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60487/85327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60487 ÷ 217
    60487 ÷ 131072     		x = 0.461479187011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85327 ÷ 217
    85327 ÷ 131072     		y = 0.650993347167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461479187011719 × 2 - 1) × π
    -0.0770416259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24203341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650993347167969 × 2 - 1) × π
    -0.301986694335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.948719180380531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24203341} λ = -0.24203341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.948719180380531))-π/2
    2×atan(0.387236686304585)-π/2
    2×0.369455331162554-π/2
    0.738910662325108-1.57079632675     		φ = -0.83188566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24203341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.867493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83188566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.663537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60487 KachelY 85327 -0.24203341 -0.83188566 -13.867493 -47.663537
    Oben rechts KachelX + 1 60488 KachelY 85327 -0.24198547 -0.83188566 -13.864746 -47.663537
    Unten links KachelX 60487 KachelY + 1 85328 -0.24203341 -0.83191795 -13.867493 -47.665387
    Unten rechts KachelX + 1 60488 KachelY + 1 85328 -0.24198547 -0.83191795 -13.864746 -47.665387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83188566--0.83191795) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dl = 205.719590000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83188566--0.83191795) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dr = 205.719590000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24203341--0.24198547) × cos(-0.83188566) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.673483073394526 × 6371000     		do = 205.699066068982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24203341--0.24198547) × cos(-0.83191795) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.673459204190033 × 6371000     		du = 205.691775799536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83188566)-sin(-0.83191795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673483073394526-0.673459204190033)×R²
    abs(-0.24198547--0.24203341)×2.38692044931543e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38692044931543e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38692044931543e-05×40589641000000     		ar = 42315.5776631777m²