Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60487 / 59979
↖ ↑ ↗
← S 81.578822°
E152.265015°		 ← 89.45 m → S 81.578822°
E152.270508°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
S 81.579626°
E152.265015°		 ← 89.44 m →
8 001 m²		 S 81.579626°
E152.270508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922966003417969 y=0.915214538574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922966003417969 × 216)
    floor (0.922966003417969 × 65536)
    floor (60487.5)     		tx = 60487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915214538574219 × 216)
    floor (0.915214538574219 × 65536)
    floor (59979.5)     		ty = 59979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60487 / 59979 ti = "16/60487/59979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60487/59979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60487 ÷ 216
    60487 ÷ 65536     		x = 0.922958374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59979 ÷ 216
    59979 ÷ 65536     		y = 0.915206909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922958374023438 × 2 - 1) × π
    0.845916748046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65752584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915206909179688 × 2 - 1) × π
    -0.830413818359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.6088219511227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65752584} λ = 2.65752584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6088219511227))-π/2
    2×atan(0.0736212220954119)-π/2
    2×0.0734886419088237-π/2
    0.146977283817647-1.57079632675     		φ = -1.42381904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65752584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.265015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42381904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.578822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60487 KachelY 59979 2.65752584 -1.42381904 152.265015 -81.578822
    Oben rechts KachelX + 1 60488 KachelY 59979 2.65762171 -1.42381904 152.270508 -81.578822
    Unten links KachelX 60487 KachelY + 1 59980 2.65752584 -1.42383308 152.265015 -81.579626
    Unten rechts KachelX + 1 60488 KachelY + 1 59980 2.65762171 -1.42383308 152.270508 -81.579626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42381904--1.42383308) × R
    1.40400000001595e-05 × 6371000     		dl = 89.4488400010161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42381904--1.42383308) × R
    1.40400000001595e-05 × 6371000     		dr = 89.4488400010161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65752584-2.65762171) × cos(-1.42381904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146448682938514 × 6371000     		do = 89.4490644714502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65752584-2.65762171) × cos(-1.42383308) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146434794299587 × 6371000     		du = 89.4405814606515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42381904)-sin(-1.42383308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146448682938514-0.146434794299587)×R²
    abs(2.65762171-2.65752584)×1.38886389272896e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38886389272896e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38886389272896e-05×40589641000000     		ar = 8000.73565871048m²