Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60486 / 82623
↖ ↑ ↗
← S 42.421429°
W 13.870239°		 ← 225.42 m → S 42.421429°
W 13.867493°		 →
↑
225.47 m
↓
↑
225.47 m
↓
S 42.423457°
W 13.870239°		 ← 225.41 m →
50 824 m²		 S 42.423457°
W 13.867493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461475372314453 y=0.630367279052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461475372314453 × 217)
    floor (0.461475372314453 × 131072)
    floor (60486.5)     		tx = 60486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630367279052734 × 217)
    floor (0.630367279052734 × 131072)
    floor (82623.5)     		ty = 82623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60486 / 82623 ti = "17/60486/82623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60486/82623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60486 ÷ 217
    60486 ÷ 131072     		x = 0.461471557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82623 ÷ 217
    82623 ÷ 131072     		y = 0.630363464355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461471557617188 × 2 - 1) × π
    -0.077056884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24208134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630363464355469 × 2 - 1) × π
    -0.260726928710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.8190978038079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24208134} λ = -0.24208134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8190978038079))-π/2
    2×atan(0.44082918956792)-π/2
    2×0.415201358546511-π/2
    0.830402717093022-1.57079632675     		φ = -0.74039361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24208134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.870239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74039361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.421429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60486 KachelY 82623 -0.24208134 -0.74039361 -13.870239 -42.421429
    Oben rechts KachelX + 1 60487 KachelY 82623 -0.24203341 -0.74039361 -13.867493 -42.421429
    Unten links KachelX 60486 KachelY + 1 82624 -0.24208134 -0.74042900 -13.870239 -42.423457
    Unten rechts KachelX + 1 60487 KachelY + 1 82624 -0.24203341 -0.74042900 -13.867493 -42.423457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74039361--0.74042900) × R
    3.53899999999685e-05 × 6371000     		dl = 225.469689999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74039361--0.74042900) × R
    3.53899999999685e-05 × 6371000     		dr = 225.469689999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24208134--0.24203341) × cos(-0.74039361) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.73820309506651 × 6371000     		do = 225.4191956618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24208134--0.24203341) × cos(-0.74042900) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.738179221270127 × 6371000     		du = 225.411905510873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74039361)-sin(-0.74042900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73820309506651-0.738179221270127)×R²
    abs(-0.24203341--0.24208134)×2.38737963828006e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38737963828006e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38737963828006e-05×40589641000000     		ar = 50824.3743172286m²