Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60486 / 55981
↖ ↑ ↗
← N 25.371327°
W 13.870239°		 ← 275.91 m → N 25.371327°
W 13.867493°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
N 25.368846°
W 13.870239°		 ← 275.92 m →
76 132 m²		 N 25.368846°
W 13.867493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461475372314453 y=0.427104949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461475372314453 × 217)
    floor (0.461475372314453 × 131072)
    floor (60486.5)     		tx = 60486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427104949951172 × 217)
    floor (0.427104949951172 × 131072)
    floor (55981.5)     		ty = 55981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60486 / 55981 ti = "17/60486/55981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60486/55981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60486 ÷ 217
    60486 ÷ 131072     		x = 0.461471557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55981 ÷ 217
    55981 ÷ 131072     		y = 0.427101135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461471557617188 × 2 - 1) × π
    -0.077056884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24208134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427101135253906 × 2 - 1) × π
    0.145797729492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.458037075869637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24208134} λ = -0.24208134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.458037075869637))-π/2
    2×atan(1.58096761772411)-π/2
    2×1.00680476383326-π/2
    2.01360952766652-1.57079632675     		φ = 0.44281320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24208134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.870239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44281320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.371327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60486 KachelY 55981 -0.24208134 0.44281320 -13.870239 25.371327
    Oben rechts KachelX + 1 60487 KachelY 55981 -0.24203341 0.44281320 -13.867493 25.371327
    Unten links KachelX 60486 KachelY + 1 55982 -0.24208134 0.44276989 -13.870239 25.368846
    Unten rechts KachelX + 1 60487 KachelY + 1 55982 -0.24203341 0.44276989 -13.867493 25.368846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44281320-0.44276989) × R
    4.33100000000186e-05 × 6371000     		dl = 275.928010000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44281320-0.44276989) × R
    4.33100000000186e-05 × 6371000     		dr = 275.928010000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24208134--0.24203341) × cos(0.44281320) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.903549831754751 × 6371000     		do = 275.909810830798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24208134--0.24203341) × cos(0.44276989) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.903568388507079 × 6371000     		du = 275.91547735836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44281320)-sin(0.44276989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903549831754751-0.903568388507079)×R²
    abs(-0.24203341--0.24208134)×1.85567523279806e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85567523279806e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85567523279806e-05×40589641000000     		ar = 76132.0268308362m²