Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60485 / 82974
↖ ↑ ↗
← S 43.129053°
W 13.872986°		 ← 222.90 m → S 43.129053°
W 13.870239°		 →
↑
222.86 m
↓
↑
222.86 m
↓
S 43.131057°
W 13.872986°		 ← 222.90 m →
49 675 m²		 S 43.131057°
W 13.870239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461467742919922 y=0.633045196533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461467742919922 × 217)
    floor (0.461467742919922 × 131072)
    floor (60485.5)     		tx = 60485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633045196533203 × 217)
    floor (0.633045196533203 × 131072)
    floor (82974.5)     		ty = 82974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60485 / 82974 ti = "17/60485/82974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60485/82974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60485 ÷ 217
    60485 ÷ 131072     		x = 0.461463928222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82974 ÷ 217
    82974 ÷ 131072     		y = 0.633041381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461463928222656 × 2 - 1) × π
    -0.0770721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24212928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633041381835938 × 2 - 1) × π
    -0.266082763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.835923655574539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24212928} λ = -0.24212928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835923655574539))-π/2
    2×atan(0.433473915870351)-π/2
    2×0.409026180488664-π/2
    0.818052360977328-1.57079632675     		φ = -0.75274397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24212928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.872986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75274397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.129053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60485 KachelY 82974 -0.24212928 -0.75274397 -13.872986 -43.129053
    Oben rechts KachelX + 1 60486 KachelY 82974 -0.24208134 -0.75274397 -13.870239 -43.129053
    Unten links KachelX 60485 KachelY + 1 82975 -0.24212928 -0.75277895 -13.872986 -43.131057
    Unten rechts KachelX + 1 60486 KachelY + 1 82975 -0.24208134 -0.75277895 -13.870239 -43.131057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75274397--0.75277895) × R
    3.49799999999068e-05 × 6371000     		dl = 222.857579999406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75274397--0.75277895) × R
    3.49799999999068e-05 × 6371000     		dr = 222.857579999406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24212928--0.24208134) × cos(-0.75274397) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.729815720335751 × 6371000     		do = 222.904506447163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24212928--0.24208134) × cos(-0.75277895) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.729791806024805 × 6371000     		du = 222.897202401046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75274397)-sin(-0.75277895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729815720335751-0.729791806024805)×R²
    abs(-0.24208134--0.24212928)×2.39143109458384e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39143109458384e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39143109458384e-05×40589641000000     		ar = 49675.1450019383m²