Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60485 / 39999
↖ ↑ ↗
← N 57.232990°
W 13.872986°		 ← 165.30 m → N 57.232990°
W 13.870239°		 →
↑
165.33 m
↓
↑
165.33 m
↓
N 57.231503°
W 13.872986°		 ← 165.31 m →
27 330 m²		 N 57.231503°
W 13.870239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461467742919922 y=0.305171966552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461467742919922 × 217)
    floor (0.461467742919922 × 131072)
    floor (60485.5)     		tx = 60485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305171966552734 × 217)
    floor (0.305171966552734 × 131072)
    floor (39999.5)     		ty = 39999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60485 / 39999 ti = "17/60485/39999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60485/39999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60485 ÷ 217
    60485 ÷ 131072     		x = 0.461463928222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39999 ÷ 217
    39999 ÷ 131072     		y = 0.305168151855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461463928222656 × 2 - 1) × π
    -0.0770721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24212928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305168151855469 × 2 - 1) × π
    0.389663696289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.22416460559737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24212928} λ = -0.24212928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22416460559737))-π/2
    2×atan(3.40132344902513)-π/2
    2×1.28485021748627-π/2
    2.56970043497254-1.57079632675     		φ = 0.99890411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24212928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.872986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99890411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.232990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60485 KachelY 39999 -0.24212928 0.99890411 -13.872986 57.232990
    Oben rechts KachelX + 1 60486 KachelY 39999 -0.24208134 0.99890411 -13.870239 57.232990
    Unten links KachelX 60485 KachelY + 1 40000 -0.24212928 0.99887816 -13.872986 57.231503
    Unten rechts KachelX + 1 60486 KachelY + 1 40000 -0.24208134 0.99887816 -13.870239 57.231503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99890411-0.99887816) × R
    2.59500000000523e-05 × 6371000     		dl = 165.327450000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99890411-0.99887816) × R
    2.59500000000523e-05 × 6371000     		dr = 165.327450000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24212928--0.24208134) × cos(0.99890411) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54122414087638 × 6371000     		do = 165.30378373302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24212928--0.24208134) × cos(0.99887816) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541245961487789 × 6371000     		du = 165.310448309407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99890411)-sin(0.99887816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54122414087638-0.541245961487789)×R²
    abs(-0.24208134--0.24212928)×2.18206114095398e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18206114095398e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18206114095398e-05×40589641000000     		ar = 27329.8039602964m²