Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60484 / 85506
↖ ↑ ↗
← S 47.993598°
W 13.875733°		 ← 204.40 m → S 47.993598°
W 13.872986°		 →
↑
204.38 m
↓
↑
204.38 m
↓
S 47.995436°
W 13.875733°		 ← 204.39 m →
41 774 m²		 S 47.995436°
W 13.872986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461460113525391 y=0.652362823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461460113525391 × 217)
    floor (0.461460113525391 × 131072)
    floor (60484.5)     		tx = 60484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652362823486328 × 217)
    floor (0.652362823486328 × 131072)
    floor (85506.5)     		ty = 85506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60484 / 85506 ti = "17/60484/85506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60484/85506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60484 ÷ 217
    60484 ÷ 131072     		x = 0.461456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85506 ÷ 217
    85506 ÷ 131072     		y = 0.652359008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.07708740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24217722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652359008789062 × 2 - 1) × π
    -0.304718017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.957299885412521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24217722} λ = -0.24217722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957299885412521))-π/2
    2×atan(0.383928137662097)-π/2
    2×0.366575011801558-π/2
    0.733150023603116-1.57079632675     		φ = -0.83764630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24217722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.875733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83764630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.993598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60484 KachelY 85506 -0.24217722 -0.83764630 -13.875733 -47.993598
    Oben rechts KachelX + 1 60485 KachelY 85506 -0.24212928 -0.83764630 -13.872986 -47.993598
    Unten links KachelX 60484 KachelY + 1 85507 -0.24217722 -0.83767838 -13.875733 -47.995436
    Unten rechts KachelX + 1 60485 KachelY + 1 85507 -0.24212928 -0.83767838 -13.872986 -47.995436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83764630--0.83767838) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dl = 204.381679999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83764630--0.83767838) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dr = 204.381679999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24217722--0.24212928) × cos(-0.83764630) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.669213641895484 × 6371000     		do = 204.395071794008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24217722--0.24212928) × cos(-0.83767838) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.669189803863882 × 6371000     		du = 204.387791045565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83764630)-sin(-0.83767838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669213641895484-0.669189803863882)×R²
    abs(-0.24212928--0.24217722)×2.38380316021081e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38380316021081e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38380316021081e-05×40589641000000     		ar = 41773.8641349069m²