Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60484 / 80836
↖ ↑ ↗
← S 38.694085°
W 13.875733°		 ← 238.38 m → S 38.694085°
W 13.872986°		 →
↑
238.34 m
↓
↑
238.34 m
↓
S 38.696229°
W 13.875733°		 ← 238.38 m →
56 815 m²		 S 38.696229°
W 13.872986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461460113525391 y=0.616733551025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461460113525391 × 217)
    floor (0.461460113525391 × 131072)
    floor (60484.5)     		tx = 60484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616733551025391 × 217)
    floor (0.616733551025391 × 131072)
    floor (80836.5)     		ty = 80836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60484 / 80836 ti = "17/60484/80836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60484/80836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60484 ÷ 217
    60484 ÷ 131072     		x = 0.461456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80836 ÷ 217
    80836 ÷ 131072     		y = 0.616729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.07708740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24217722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.23345947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.733434564186859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24217722} λ = -0.24217722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.733434564186859))-π/2
    2×atan(0.480256681835143)-π/2
    2×0.447728570842242-π/2
    0.895457141684484-1.57079632675     		φ = -0.67533919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24217722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.875733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67533919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.694085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60484 KachelY 80836 -0.24217722 -0.67533919 -13.875733 -38.694085
    Oben rechts KachelX + 1 60485 KachelY 80836 -0.24212928 -0.67533919 -13.872986 -38.694085
    Unten links KachelX 60484 KachelY + 1 80837 -0.24217722 -0.67537660 -13.875733 -38.696229
    Unten rechts KachelX + 1 60485 KachelY + 1 80837 -0.24212928 -0.67537660 -13.872986 -38.696229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67533919--0.67537660) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dl = 238.339110000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67533919--0.67537660) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dr = 238.339110000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24217722--0.24212928) × cos(-0.67533919) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.78049494730554 × 6371000     		do = 238.383246847037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24217722--0.24212928) × cos(-0.67537660) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.78047155944565 × 6371000     		du = 238.376103592623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67533919)-sin(-0.67537660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78049494730554-0.78047155944565)×R²
    abs(-0.24212928--0.24217722)×2.33878598898674e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33878598898674e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33878598898674e-05×40589641000000     		ar = 56815.1996406134m²