Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60483 / 85507
↖ ↑ ↗
← S 47.995436°
W 13.878479°		 ← 204.35 m → S 47.995436°
W 13.875733°		 →
↑
204.38 m
↓
↑
204.38 m
↓
S 47.997274°
W 13.878479°		 ← 204.34 m →
41 764 m²		 S 47.997274°
W 13.875733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461452484130859 y=0.652370452880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461452484130859 × 217)
    floor (0.461452484130859 × 131072)
    floor (60483.5)     		tx = 60483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652370452880859 × 217)
    floor (0.652370452880859 × 131072)
    floor (85507.5)     		ty = 85507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60483 / 85507 ti = "17/60483/85507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60483/85507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60483 ÷ 217
    60483 ÷ 131072     		x = 0.461448669433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85507 ÷ 217
    85507 ÷ 131072     		y = 0.652366638183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461448669433594 × 2 - 1) × π
    -0.0771026611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24222515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652366638183594 × 2 - 1) × π
    -0.304733276367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.957347822312141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24222515} λ = -0.24222515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957347822312141))-π/2
    2×atan(0.383909733778617)-π/2
    2×0.366558972073703-π/2
    0.733117944147405-1.57079632675     		φ = -0.83767838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24222515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.878479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83767838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.995436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60483 KachelY 85507 -0.24222515 -0.83767838 -13.878479 -47.995436
    Oben rechts KachelX + 1 60484 KachelY 85507 -0.24217722 -0.83767838 -13.875733 -47.995436
    Unten links KachelX 60483 KachelY + 1 85508 -0.24222515 -0.83771046 -13.878479 -47.997274
    Unten rechts KachelX + 1 60484 KachelY + 1 85508 -0.24217722 -0.83771046 -13.875733 -47.997274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83767838--0.83771046) × R
    3.20800000001009e-05 × 6371000     		dl = 204.381680000643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83767838--0.83771046) × R
    3.20800000001009e-05 × 6371000     		dr = 204.381680000643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24222515--0.24217722) × cos(-0.83767838) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.669189803863882 × 6371000     		do = 204.345156963184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24222515--0.24217722) × cos(-0.83771046) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.669165965143599 × 6371000     		du = 204.337877523165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83767838)-sin(-0.83771046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669189803863882-0.669165965143599)×R²
    abs(-0.24217722--0.24222515)×2.38387202831092e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38387202831092e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38387202831092e-05×40589641000000     		ar = 41763.6625915101m²