Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60483 / 82973
↖ ↑ ↗
← S 43.127048°
W 13.878479°		 ← 222.87 m → S 43.127048°
W 13.875733°		 →
↑
222.92 m
↓
↑
222.92 m
↓
S 43.129053°
W 13.878479°		 ← 222.86 m →
49 681 m²		 S 43.129053°
W 13.875733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461452484130859 y=0.633037567138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461452484130859 × 217)
    floor (0.461452484130859 × 131072)
    floor (60483.5)     		tx = 60483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633037567138672 × 217)
    floor (0.633037567138672 × 131072)
    floor (82973.5)     		ty = 82973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60483 / 82973 ti = "17/60483/82973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60483/82973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60483 ÷ 217
    60483 ÷ 131072     		x = 0.461448669433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82973 ÷ 217
    82973 ÷ 131072     		y = 0.633033752441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461448669433594 × 2 - 1) × π
    -0.0771026611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24222515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633033752441406 × 2 - 1) × π
    -0.266067504882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.835875718674919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24222515} λ = -0.24222515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835875718674919))-π/2
    2×atan(0.433494695764002)-π/2
    2×0.409043673326827-π/2
    0.818087346653653-1.57079632675     		φ = -0.75270898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24222515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.878479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75270898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.127048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60483 KachelY 82973 -0.24222515 -0.75270898 -13.878479 -43.127048
    Oben rechts KachelX + 1 60484 KachelY 82973 -0.24217722 -0.75270898 -13.875733 -43.127048
    Unten links KachelX 60483 KachelY + 1 82974 -0.24222515 -0.75274397 -13.878479 -43.129053
    Unten rechts KachelX + 1 60484 KachelY + 1 82974 -0.24217722 -0.75274397 -13.875733 -43.129053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75270898--0.75274397) × R
    3.4990000000068e-05 × 6371000     		dl = 222.921290000433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75270898--0.75274397) × R
    3.4990000000068e-05 × 6371000     		dr = 222.921290000433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24222515--0.24217722) × cos(-0.75270898) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.729839640589878 × 6371000     		do = 222.865314225003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24222515--0.24217722) × cos(-0.75274397) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.729815720335751 × 6371000     		du = 222.858009887645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75270898)-sin(-0.75274397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729839640589878-0.729815720335751)×R²
    abs(-0.24217722--0.24222515)×2.39202541272299e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39202541272299e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39202541272299e-05×40589641000000     		ar = 49680.6092021086m²