Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60482 / 41154
↖ ↑ ↗
← N 55.475740°
W 13.881226°		 ← 173.10 m → N 55.475740°
W 13.878479°		 →
↑
173.10 m
↓
↑
173.10 m
↓
N 55.474183°
W 13.881226°		 ← 173.11 m →
29 964 m²		 N 55.474183°
W 13.878479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461444854736328 y=0.313983917236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461444854736328 × 217)
    floor (0.461444854736328 × 131072)
    floor (60482.5)     		tx = 60482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313983917236328 × 217)
    floor (0.313983917236328 × 131072)
    floor (41154.5)     		ty = 41154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60482 / 41154 ti = "17/60482/41154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60482/41154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60482 ÷ 217
    60482 ÷ 131072     		x = 0.461441040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41154 ÷ 217
    41154 ÷ 131072     		y = 0.313980102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461441040039062 × 2 - 1) × π
    -0.077117919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24227309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313980102539062 × 2 - 1) × π
    0.372039794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16879748653621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24227309} λ = -0.24227309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16879748653621))-π/2
    2×atan(3.21812047762985)-π/2
    2×1.26951532506028-π/2
    2.53903065012056-1.57079632675     		φ = 0.96823432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24227309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.881226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96823432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.475740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60482 KachelY 41154 -0.24227309 0.96823432 -13.881226 55.475740
    Oben rechts KachelX + 1 60483 KachelY 41154 -0.24222515 0.96823432 -13.878479 55.475740
    Unten links KachelX 60482 KachelY + 1 41155 -0.24227309 0.96820715 -13.881226 55.474183
    Unten rechts KachelX + 1 60483 KachelY + 1 41155 -0.24222515 0.96820715 -13.878479 55.474183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96823432-0.96820715) × R
    2.71699999999653e-05 × 6371000     		dl = 173.100069999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96823432-0.96820715) × R
    2.71699999999653e-05 × 6371000     		dr = 173.100069999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24227309--0.24222515) × cos(0.96823432) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.566755133413896 × 6371000     		do = 173.101606021725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24227309--0.24222515) × cos(0.96820715) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.566777518195199 × 6371000     		du = 173.108442910119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96823432)-sin(0.96820715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566755133413896-0.566777518195199)×R²
    abs(-0.24222515--0.24227309)×2.23847813030087e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23847813030087e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23847813030087e-05×40589641000000     		ar = 29964.4918542539m²