Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60482 / 40023
↖ ↑ ↗
← N 57.197296°
W 13.881226°		 ← 165.46 m → N 57.197296°
W 13.878479°		 →
↑
165.45 m
↓
↑
165.45 m
↓
N 57.195808°
W 13.881226°		 ← 165.47 m →
27 377 m²		 N 57.195808°
W 13.878479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461444854736328 y=0.305355072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461444854736328 × 217)
    floor (0.461444854736328 × 131072)
    floor (60482.5)     		tx = 60482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305355072021484 × 217)
    floor (0.305355072021484 × 131072)
    floor (40023.5)     		ty = 40023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60482 / 40023 ti = "17/60482/40023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60482/40023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60482 ÷ 217
    60482 ÷ 131072     		x = 0.461441040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40023 ÷ 217
    40023 ÷ 131072     		y = 0.305351257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461441040039062 × 2 - 1) × π
    -0.077117919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24227309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305351257324219 × 2 - 1) × π
    0.389297485351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.22301412000649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24227309} λ = -0.24227309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22301412000649))-π/2
    2×atan(3.39741252556902)-π/2
    2×1.28453873157345-π/2
    2.5690774631469-1.57079632675     		φ = 0.99828114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24227309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.881226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99828114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.197296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60482 KachelY 40023 -0.24227309 0.99828114 -13.881226 57.197296
    Oben rechts KachelX + 1 60483 KachelY 40023 -0.24222515 0.99828114 -13.878479 57.197296
    Unten links KachelX 60482 KachelY + 1 40024 -0.24227309 0.99825517 -13.881226 57.195808
    Unten rechts KachelX + 1 60483 KachelY + 1 40024 -0.24222515 0.99825517 -13.878479 57.195808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99828114-0.99825517) × R
    2.59700000000418e-05 × 6371000     		dl = 165.454870000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99828114-0.99825517) × R
    2.59700000000418e-05 × 6371000     		dr = 165.454870000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24227309--0.24222515) × cos(0.99828114) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541747877816974 × 6371000     		do = 165.463746475666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24227309--0.24222515) × cos(0.99825517) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541769706485045 × 6371000     		du = 165.470413512765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99828114)-sin(0.99825517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541747877816974-0.541769706485045)×R²
    abs(-0.24222515--0.24227309)×2.18286680708779e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18286680708779e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18286680708779e-05×40589641000000     		ar = 27377.3342112254m²