Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60482 / 34058
↖ ↑ ↗
← N 65.060551°
W 13.881226°		 ← 128.79 m → N 65.060551°
W 13.878479°		 →
↑
128.76 m
↓
↑
128.76 m
↓
N 65.059393°
W 13.881226°		 ← 128.79 m →
16 583 m²		 N 65.059393°
W 13.878479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461444854736328 y=0.259845733642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461444854736328 × 217)
    floor (0.461444854736328 × 131072)
    floor (60482.5)     		tx = 60482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259845733642578 × 217)
    floor (0.259845733642578 × 131072)
    floor (34058.5)     		ty = 34058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60482 / 34058 ti = "17/60482/34058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60482/34058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60482 ÷ 217
    60482 ÷ 131072     		x = 0.461441040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34058 ÷ 217
    34058 ÷ 131072     		y = 0.259841918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461441040039062 × 2 - 1) × π
    -0.077117919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24227309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259841918945312 × 2 - 1) × π
    0.480316162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50895772624013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24227309} λ = -0.24227309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50895772624013))-π/2
    2×atan(4.52201515950744)-π/2
    2×1.35315858057236-π/2
    2.70631716114472-1.57079632675     		φ = 1.13552083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24227309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.881226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13552083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.060551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60482 KachelY 34058 -0.24227309 1.13552083 -13.881226 65.060551
    Oben rechts KachelX + 1 60483 KachelY 34058 -0.24222515 1.13552083 -13.878479 65.060551
    Unten links KachelX 60482 KachelY + 1 34059 -0.24227309 1.13550062 -13.881226 65.059393
    Unten rechts KachelX + 1 60483 KachelY + 1 34059 -0.24222515 1.13550062 -13.878479 65.059393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13552083-1.13550062) × R
    2.0209999999965e-05 × 6371000     		dl = 128.757909999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13552083-1.13550062) × R
    2.0209999999965e-05 × 6371000     		dr = 128.757909999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24227309--0.24222515) × cos(1.13552083) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421660225161324 × 6371000     		do = 128.785886298454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24227309--0.24222515) × cos(1.13550062) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421678550571745 × 6371000     		du = 128.791483350493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13552083)-sin(1.13550062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421660225161324-0.421678550571745)×R²
    abs(-0.24222515--0.24227309)×1.83254104210717e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83254104210717e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83254104210717e-05×40589641000000     		ar = 16582.5618900887m²