Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60481 / 82454
↖ ↑ ↗
← S 42.077839°
W 13.883972°		 ← 226.70 m → S 42.077839°
W 13.881226°		 →
↑
226.68 m
↓
↑
226.68 m
↓
S 42.079878°
W 13.883972°		 ← 226.69 m →
51 387 m²		 S 42.079878°
W 13.881226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461437225341797 y=0.629077911376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461437225341797 × 217)
    floor (0.461437225341797 × 131072)
    floor (60481.5)     		tx = 60481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629077911376953 × 217)
    floor (0.629077911376953 × 131072)
    floor (82454.5)     		ty = 82454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60481 / 82454 ti = "17/60481/82454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60481/82454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60481 ÷ 217
    60481 ÷ 131072     		x = 0.461433410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82454 ÷ 217
    82454 ÷ 131072     		y = 0.629074096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461433410644531 × 2 - 1) × π
    -0.0771331787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24232103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629074096679688 × 2 - 1) × π
    -0.258148193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.81099646777211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24232103} λ = -0.24232103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81099646777211))-π/2
    2×atan(0.444415000283913)-π/2
    2×0.418199741918763-π/2
    0.836399483837526-1.57079632675     		φ = -0.73439684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24232103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.883972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73439684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.077839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60481 KachelY 82454 -0.24232103 -0.73439684 -13.883972 -42.077839
    Oben rechts KachelX + 1 60482 KachelY 82454 -0.24227309 -0.73439684 -13.881226 -42.077839
    Unten links KachelX 60481 KachelY + 1 82455 -0.24232103 -0.73443242 -13.883972 -42.079878
    Unten rechts KachelX + 1 60482 KachelY + 1 82455 -0.24227309 -0.73443242 -13.881226 -42.079878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73439684--0.73443242) × R
    3.5579999999924e-05 × 6371000     		dl = 226.680179999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73439684--0.73443242) × R
    3.5579999999924e-05 × 6371000     		dr = 226.680179999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24232103--0.24227309) × cos(-0.73439684) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.742235089786852 × 6371000     		do = 226.697701552098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24232103--0.24227309) × cos(-0.73443242) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.742211245750396 × 6371000     		du = 226.690418969619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73439684)-sin(-0.73443242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742235089786852-0.742211245750396)×R²
    abs(-0.24227309--0.24232103)×2.38440364556114e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38440364556114e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38440364556114e-05×40589641000000     		ar = 51387.0503900317m²