Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60481 / 80823
↖ ↑ ↗
← S 38.666212°
W 13.883972°		 ← 238.48 m → S 38.666212°
W 13.881226°		 →
↑
238.47 m
↓
↑
238.47 m
↓
S 38.668356°
W 13.883972°		 ← 238.47 m →
56 868 m²		 S 38.668356°
W 13.881226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461437225341797 y=0.616634368896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461437225341797 × 217)
    floor (0.461437225341797 × 131072)
    floor (60481.5)     		tx = 60481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616634368896484 × 217)
    floor (0.616634368896484 × 131072)
    floor (80823.5)     		ty = 80823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60481 / 80823 ti = "17/60481/80823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60481/80823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60481 ÷ 217
    60481 ÷ 131072     		x = 0.461433410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80823 ÷ 217
    80823 ÷ 131072     		y = 0.616630554199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461433410644531 × 2 - 1) × π
    -0.0771331787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24232103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616630554199219 × 2 - 1) × π
    -0.233261108398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.732811384491798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24232103} λ = -0.24232103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.732811384491798))-π/2
    2×atan(0.4805560613216)-π/2
    2×0.447971812514212-π/2
    0.895943625028425-1.57079632675     		φ = -0.67485270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24232103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.883972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67485270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.666212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60481 KachelY 80823 -0.24232103 -0.67485270 -13.883972 -38.666212
    Oben rechts KachelX + 1 60482 KachelY 80823 -0.24227309 -0.67485270 -13.881226 -38.666212
    Unten links KachelX 60481 KachelY + 1 80824 -0.24232103 -0.67489013 -13.883972 -38.668356
    Unten rechts KachelX + 1 60482 KachelY + 1 80824 -0.24227309 -0.67489013 -13.881226 -38.668356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67485270--0.67489013) × R
    3.7430000000005e-05 × 6371000     		dl = 238.466530000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67485270--0.67489013) × R
    3.7430000000005e-05 × 6371000     		dr = 238.466530000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24232103--0.24227309) × cos(-0.67485270) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.780798990037256 × 6371000     		do = 238.476109323363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24232103--0.24227309) × cos(-0.67489013) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.780775603888378 × 6371000     		du = 238.468966591536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67485270)-sin(-0.67489013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780798990037256-0.780775603888378)×R²
    abs(-0.24227309--0.24232103)×2.33861488774245e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33861488774245e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33861488774245e-05×40589641000000     		ar = 56867.718633671m²