Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60481 / 41153
↖ ↑ ↗
← N 55.477297°
W 13.883972°		 ← 173.09 m → N 55.477297°
W 13.881226°		 →
↑
173.10 m
↓
↑
173.10 m
↓
N 55.475740°
W 13.883972°		 ← 173.10 m →
29 963 m²		 N 55.475740°
W 13.881226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461437225341797 y=0.313976287841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461437225341797 × 217)
    floor (0.461437225341797 × 131072)
    floor (60481.5)     		tx = 60481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313976287841797 × 217)
    floor (0.313976287841797 × 131072)
    floor (41153.5)     		ty = 41153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60481 / 41153 ti = "17/60481/41153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60481/41153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60481 ÷ 217
    60481 ÷ 131072     		x = 0.461433410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41153 ÷ 217
    41153 ÷ 131072     		y = 0.313972473144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461433410644531 × 2 - 1) × π
    -0.0771331787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24232103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313972473144531 × 2 - 1) × π
    0.372055053710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.16884542343583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24232103} λ = -0.24232103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16884542343583))-π/2
    2×atan(3.21827474804574)-π/2
    2×1.26952890903393-π/2
    2.53905781806786-1.57079632675     		φ = 0.96826149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24232103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.883972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96826149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.477297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60481 KachelY 41153 -0.24232103 0.96826149 -13.883972 55.477297
    Oben rechts KachelX + 1 60482 KachelY 41153 -0.24227309 0.96826149 -13.881226 55.477297
    Unten links KachelX 60481 KachelY + 1 41154 -0.24232103 0.96823432 -13.883972 55.475740
    Unten rechts KachelX + 1 60482 KachelY + 1 41154 -0.24227309 0.96823432 -13.881226 55.475740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96826149-0.96823432) × R
    2.71699999999653e-05 × 6371000     		dl = 173.100069999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96826149-0.96823432) × R
    2.71699999999653e-05 × 6371000     		dr = 173.100069999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24232103--0.24227309) × cos(0.96826149) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.566732748214209 × 6371000     		do = 173.094769005545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24232103--0.24227309) × cos(0.96823432) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.566755133413896 × 6371000     		du = 173.101606021725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96826149)-sin(0.96823432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566732748214209-0.566755133413896)×R²
    abs(-0.24227309--0.24232103)×2.23851996866697e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23851996866697e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23851996866697e-05×40589641000000     		ar = 29963.3083774023m²