Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60480 / 40030
↖ ↑ ↗
← N 57.186879°
W 13.886718°		 ← 165.48 m → N 57.186879°
W 13.883972°		 →
↑
165.45 m
↓
↑
165.45 m
↓
N 57.185391°
W 13.886718°		 ← 165.48 m →
27 379 m²		 N 57.185391°
W 13.883972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461429595947266 y=0.305408477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461429595947266 × 217)
    floor (0.461429595947266 × 131072)
    floor (60480.5)     		tx = 60480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305408477783203 × 217)
    floor (0.305408477783203 × 131072)
    floor (40030.5)     		ty = 40030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60480 / 40030 ti = "17/60480/40030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60480/40030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60480 ÷ 217
    60480 ÷ 131072     		x = 0.46142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40030 ÷ 217
    40030 ÷ 131072     		y = 0.305404663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46142578125 × 2 - 1) × π
    -0.0771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24236896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305404663085938 × 2 - 1) × π
    0.389190673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22267856170915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24236896} λ = -0.24236896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22267856170915))-π/2
    2×atan(3.39627268685845)-π/2
    2×1.28444782475615-π/2
    2.5688956495123-1.57079632675     		φ = 0.99809932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24236896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99809932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.186879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60480 KachelY 40030 -0.24236896 0.99809932 -13.886718 57.186879
    Oben rechts KachelX + 1 60481 KachelY 40030 -0.24232103 0.99809932 -13.883972 57.186879
    Unten links KachelX 60480 KachelY + 1 40031 -0.24236896 0.99807335 -13.886718 57.185391
    Unten rechts KachelX + 1 60481 KachelY + 1 40031 -0.24232103 0.99807335 -13.883972 57.185391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99809932-0.99807335) × R
    2.59700000000418e-05 × 6371000     		dl = 165.454870000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99809932-0.99807335) × R
    2.59700000000418e-05 × 6371000     		dr = 165.454870000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24236896--0.24232103) × cos(0.99809932) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.541900696033006 × 6371000     		do = 165.475896599057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24236896--0.24232103) × cos(0.99807335) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.541922522142604 × 6371000     		du = 165.482561464191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99809932)-sin(0.99807335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541900696033006-0.541922522142604)×R²
    abs(-0.24232103--0.24236896)×2.18261095981109e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18261095981109e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18261095981109e-05×40589641000000     		ar = 27379.3443286298m²