Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6048 / 7072
↖ ↑ ↗
← N 23.885838°
W 47.109375°		 ← 2 233.96 m → N 23.885838°
W 47.087403°		 →
↑
2 234.18 m
↓
↑
2 234.18 m
↓
N 23.865745°
W 47.109375°		 ← 2 234.31 m →
4 991 469 m²		 N 23.865745°
W 47.087403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369171142578125 y=0.431671142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369171142578125 × 214)
    floor (0.369171142578125 × 16384)
    floor (6048.5)     		tx = 6048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431671142578125 × 214)
    floor (0.431671142578125 × 16384)
    floor (7072.5)     		ty = 7072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6048 / 7072 ti = "14/6048/7072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6048/7072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6048 ÷ 214
    6048 ÷ 16384     		x = 0.369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7072 ÷ 214
    7072 ÷ 16384     		y = 0.431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369140625 × 2 - 1) × π
    -0.26171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82221370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431640625 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.429514620595703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82221370} λ = -0.82221370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429514620595703))-π/2
    2×atan(1.53651155146164)-π/2
    2×0.993841419621626-π/2
    1.98768283924325-1.57079632675     		φ = 0.41688651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82221370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41688651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.885838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6048 KachelY 7072 -0.82221370 0.41688651 -47.109375 23.885838
    Oben rechts KachelX + 1 6049 KachelY 7072 -0.82183021 0.41688651 -47.087403 23.885838
    Unten links KachelX 6048 KachelY + 1 7073 -0.82221370 0.41653583 -47.109375 23.865745
    Unten rechts KachelX + 1 6049 KachelY + 1 7073 -0.82183021 0.41653583 -47.087403 23.865745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41688651-0.41653583) × R
    0.000350679999999992 × 6371000     		dl = 2234.18227999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41688651-0.41653583) × R
    0.000350679999999992 × 6371000     		dr = 2234.18227999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82221370--0.82183021) × cos(0.41688651) × R
    0.000383490000000042 × 0.91435407069783 × 6371000     		do = 2233.96338882589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82221370--0.82183021) × cos(0.41653583) × R
    0.000383490000000042 × 0.914496010271302 × 6371000     		du = 2234.31017769108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41688651)-sin(0.41653583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91435407069783-0.914496010271302)×R²
    abs(-0.82183021--0.82221370)×0.000141939573472527×R²
    0.000383490000000042×0.000141939573472527×6371000²
    0.000383490000000042×0.000141939573472527×40589641000000     		ar = 4991468.86340439m²