Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60479 / 80829
↖ ↑ ↗
← S 38.679078°
W 13.889465°		 ← 238.43 m → S 38.679078°
W 13.886718°		 →
↑
238.40 m
↓
↑
238.40 m
↓
S 38.681222°
W 13.889465°		 ← 238.43 m →
56 842 m²		 S 38.681222°
W 13.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461421966552734 y=0.616680145263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461421966552734 × 217)
    floor (0.461421966552734 × 131072)
    floor (60479.5)     		tx = 60479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616680145263672 × 217)
    floor (0.616680145263672 × 131072)
    floor (80829.5)     		ty = 80829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60479 / 80829 ti = "17/60479/80829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60479/80829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60479 ÷ 217
    60479 ÷ 131072     		x = 0.461418151855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80829 ÷ 217
    80829 ÷ 131072     		y = 0.616676330566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461418151855469 × 2 - 1) × π
    -0.0771636962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24241690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616676330566406 × 2 - 1) × π
    -0.233352661132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.733099005889519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24241690} λ = -0.24241690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.733099005889519))-π/2
    2×atan(0.480417862990911)-π/2
    2×0.447859535355336-π/2
    0.895719070710672-1.57079632675     		φ = -0.67507726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24241690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.889465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67507726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.679078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60479 KachelY 80829 -0.24241690 -0.67507726 -13.889465 -38.679078
    Oben rechts KachelX + 1 60480 KachelY 80829 -0.24236896 -0.67507726 -13.886718 -38.679078
    Unten links KachelX 60479 KachelY + 1 80830 -0.24241690 -0.67511468 -13.889465 -38.681222
    Unten rechts KachelX + 1 60480 KachelY + 1 80830 -0.24236896 -0.67511468 -13.886718 -38.681222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67507726--0.67511468) × R
    3.74199999999547e-05 × 6371000     		dl = 238.402819999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67507726--0.67511468) × R
    3.74199999999547e-05 × 6371000     		dr = 238.402819999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24241690--0.24236896) × cos(-0.67507726) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.780658669235743 × 6371000     		do = 238.433251738724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24241690--0.24236896) × cos(-0.67511468) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.780635282774587 × 6371000     		du = 238.426108911519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67507726)-sin(-0.67511468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780658669235743-0.780635282774587)×R²
    abs(-0.24236896--0.24241690)×2.33864611556278e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33864611556278e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33864611556278e-05×40589641000000     		ar = 56842.3081677926m²