Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60478 / 85458
↖ ↑ ↗
← S 47.905296°
W 13.892212°		 ← 204.74 m → S 47.905296°
W 13.889465°		 →
↑
204.70 m
↓
↑
204.70 m
↓
S 47.907137°
W 13.892212°		 ← 204.74 m →
41 911 m²		 S 47.907137°
W 13.889465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461414337158203 y=0.651996612548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461414337158203 × 217)
    floor (0.461414337158203 × 131072)
    floor (60478.5)     		tx = 60478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651996612548828 × 217)
    floor (0.651996612548828 × 131072)
    floor (85458.5)     		ty = 85458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60478 / 85458 ti = "17/60478/85458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60478/85458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60478 ÷ 217
    60478 ÷ 131072     		x = 0.461410522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85458 ÷ 217
    85458 ÷ 131072     		y = 0.651992797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461410522460938 × 2 - 1) × π
    -0.077178955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24246484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651992797851562 × 2 - 1) × π
    -0.303985595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.954998914230759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24246484} λ = -0.24246484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954998914230759))-π/2
    2×atan(0.384812562370396)-π/2
    2×0.367345590719959-π/2
    0.734691181439918-1.57079632675     		φ = -0.83610515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24246484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.892212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83610515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.905296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60478 KachelY 85458 -0.24246484 -0.83610515 -13.892212 -47.905296
    Oben rechts KachelX + 1 60479 KachelY 85458 -0.24241690 -0.83610515 -13.889465 -47.905296
    Unten links KachelX 60478 KachelY + 1 85459 -0.24246484 -0.83613728 -13.892212 -47.907137
    Unten rechts KachelX + 1 60479 KachelY + 1 85459 -0.24241690 -0.83613728 -13.889465 -47.907137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83610515--0.83613728) × R
    3.21300000000191e-05 × 6371000     		dl = 204.700230000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83610515--0.83613728) × R
    3.21300000000191e-05 × 6371000     		dr = 204.700230000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24246484--0.24241690) × cos(-0.83610515) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.670358029113093 × 6371000     		do = 204.744597106792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24246484--0.24241690) × cos(-0.83613728) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.670334187092215 × 6371000     		du = 204.737315139923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83610515)-sin(-0.83613728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670358029113093-0.670334187092215)×R²
    abs(-0.24241690--0.24246484)×2.38420208777956e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38420208777956e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38420208777956e-05×40589641000000     		ar = 41910.5208123805m²