Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60477 / 40033
↖ ↑ ↗
← N 57.182414°
W 13.894959°		 ← 165.53 m → N 57.182414°
W 13.892212°		 →
↑
165.52 m
↓
↑
165.52 m
↓
N 57.180925°
W 13.894959°		 ← 165.54 m →
27 399 m²		 N 57.180925°
W 13.892212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461406707763672 y=0.305431365966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461406707763672 × 217)
    floor (0.461406707763672 × 131072)
    floor (60477.5)     		tx = 60477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305431365966797 × 217)
    floor (0.305431365966797 × 131072)
    floor (40033.5)     		ty = 40033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60477 / 40033 ti = "17/60477/40033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60477/40033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60477 ÷ 217
    60477 ÷ 131072     		x = 0.461402893066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40033 ÷ 217
    40033 ÷ 131072     		y = 0.305427551269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461402893066406 × 2 - 1) × π
    -0.0771942138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24251278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305427551269531 × 2 - 1) × π
    0.389144897460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.22253475101029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24251278} λ = -0.24251278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22253475101029))-π/2
    2×atan(3.39578430162818)-π/2
    2×1.28440885684257-π/2
    2.56881771368515-1.57079632675     		φ = 0.99802139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24251278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.894959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99802139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.182414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60477 KachelY 40033 -0.24251278 0.99802139 -13.894959 57.182414
    Oben rechts KachelX + 1 60478 KachelY 40033 -0.24246484 0.99802139 -13.892212 57.182414
    Unten links KachelX 60477 KachelY + 1 40034 -0.24251278 0.99799541 -13.894959 57.180925
    Unten rechts KachelX + 1 60478 KachelY + 1 40034 -0.24246484 0.99799541 -13.892212 57.180925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99802139-0.99799541) × R
    2.5979999999981e-05 × 6371000     		dl = 165.518579999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99802139-0.99799541) × R
    2.5979999999981e-05 × 6371000     		dr = 165.518579999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24251278--0.24246484) × cos(0.99802139) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.541966190073307 × 6371000     		do = 165.530424658204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24251278--0.24246484) × cos(0.99799541) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.541988023489957 × 6371000     		du = 165.537093145641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99802139)-sin(0.99799541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541966190073307-0.541988023489957)×R²
    abs(-0.24246484--0.24251278)×2.18334166502965e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.18334166502965e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.18334166502965e-05×40589641000000     		ar = 27398.9127170857m²