Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60476 / 41148
↖ ↑ ↗
← N 55.485079°
W 13.897705°		 ← 173.02 m → N 55.485079°
W 13.894959°		 →
↑
173.04 m
↓
↑
173.04 m
↓
N 55.483523°
W 13.897705°		 ← 173.03 m →
29 940 m²		 N 55.483523°
W 13.894959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461399078369141 y=0.313938140869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461399078369141 × 217)
    floor (0.461399078369141 × 131072)
    floor (60476.5)     		tx = 60476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313938140869141 × 217)
    floor (0.313938140869141 × 131072)
    floor (41148.5)     		ty = 41148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60476 / 41148 ti = "17/60476/41148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60476/41148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60476 ÷ 217
    60476 ÷ 131072     		x = 0.461395263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41148 ÷ 217
    41148 ÷ 131072     		y = 0.313934326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461395263671875 × 2 - 1) × π
    -0.07720947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24256071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313934326171875 × 2 - 1) × π
    0.37213134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16908510793393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24256071} λ = -0.24256071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16908510793393))-π/2
    2×atan(3.21904621106365)-π/2
    2×1.26959682085504-π/2
    2.53919364171008-1.57079632675     		φ = 0.96839731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24256071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.897705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96839731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.485079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60476 KachelY 41148 -0.24256071 0.96839731 -13.897705 55.485079
    Oben rechts KachelX + 1 60477 KachelY 41148 -0.24251278 0.96839731 -13.894959 55.485079
    Unten links KachelX 60476 KachelY + 1 41149 -0.24256071 0.96837015 -13.897705 55.483523
    Unten rechts KachelX + 1 60477 KachelY + 1 41149 -0.24251278 0.96837015 -13.894959 55.483523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96839731-0.96837015) × R
    2.7159999999915e-05 × 6371000     		dl = 173.036359999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96839731-0.96837015) × R
    2.7159999999915e-05 × 6371000     		dr = 173.036359999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24256071--0.24251278) × cos(0.96839731) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.566620840659959 × 6371000     		do = 173.024490144237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24256071--0.24251278) × cos(0.96837015) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.566643219711222 × 6371000     		du = 173.03132385676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96839731)-sin(0.96837015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566620840659959-0.566643219711222)×R²
    abs(-0.24251278--0.24256071)×2.23790512626776e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23790512626776e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23790512626776e-05×40589641000000     		ar = 29940.1192075126m²