Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60476 / 39947
↖ ↑ ↗
← N 57.310207°
W 13.897705°		 ← 164.92 m → N 57.310207°
W 13.894959°		 →
↑
164.95 m
↓
↑
164.95 m
↓
N 57.308724°
W 13.897705°		 ← 164.93 m →
27 204 m²		 N 57.308724°
W 13.894959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461399078369141 y=0.304775238037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461399078369141 × 217)
    floor (0.461399078369141 × 131072)
    floor (60476.5)     		tx = 60476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304775238037109 × 217)
    floor (0.304775238037109 × 131072)
    floor (39947.5)     		ty = 39947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60476 / 39947 ti = "17/60476/39947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60476/39947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60476 ÷ 217
    60476 ÷ 131072     		x = 0.461395263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39947 ÷ 217
    39947 ÷ 131072     		y = 0.304771423339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461395263671875 × 2 - 1) × π
    -0.07720947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24256071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304771423339844 × 2 - 1) × π
    0.390457153320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.22665732437762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24256071} λ = -0.24256071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22665732437762))-π/2
    2×atan(3.4098125679616)-π/2
    2×1.28552407060454-π/2
    2.57104814120907-1.57079632675     		φ = 1.00025181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24256071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.897705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00025181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.310207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60476 KachelY 39947 -0.24256071 1.00025181 -13.897705 57.310207
    Oben rechts KachelX + 1 60477 KachelY 39947 -0.24251278 1.00025181 -13.894959 57.310207
    Unten links KachelX 60476 KachelY + 1 39948 -0.24256071 1.00022592 -13.897705 57.308724
    Unten rechts KachelX + 1 60477 KachelY + 1 39948 -0.24251278 1.00022592 -13.894959 57.308724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00025181-1.00022592) × R
    2.58899999998619e-05 × 6371000     		dl = 164.94518999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00025181-1.00022592) × R
    2.58899999998619e-05 × 6371000     		dr = 164.94518999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24256071--0.24251278) × cos(1.00025181) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.540090397931876 × 6371000     		do = 164.923100295991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24256071--0.24251278) × cos(1.00022592) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.540112186956396 × 6371000     		du = 164.92975383675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00025181)-sin(1.00022592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540090397931876-0.540112186956396)×R²
    abs(-0.24251278--0.24256071)×2.17890245199914e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17890245199914e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17890245199914e-05×40589641000000     		ar = 27203.8208497779m²