Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60475 / 85318
↖ ↑ ↗
← S 47.646887°
W 13.900452°		 ← 205.76 m → S 47.646887°
W 13.897705°		 →
↑
205.72 m
↓
↑
205.72 m
↓
S 47.648737°
W 13.900452°		 ← 205.76 m →
42 329 m²		 S 47.648737°
W 13.897705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461391448974609 y=0.650928497314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461391448974609 × 217)
    floor (0.461391448974609 × 131072)
    floor (60475.5)     		tx = 60475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650928497314453 × 217)
    floor (0.650928497314453 × 131072)
    floor (85318.5)     		ty = 85318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60475 / 85318 ti = "17/60475/85318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60475/85318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60475 ÷ 217
    60475 ÷ 131072     		x = 0.461387634277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85318 ÷ 217
    85318 ÷ 131072     		y = 0.650924682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461387634277344 × 2 - 1) × π
    -0.0772247314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24260865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650924682617188 × 2 - 1) × π
    -0.301849365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.948287748283951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24260865} λ = -0.24260865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.948287748283951))-π/2
    2×atan(0.387403788684104)-π/2
    2×0.369600635435658-π/2
    0.739201270871317-1.57079632675     		φ = -0.83159506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24260865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.900452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83159506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.646887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60475 KachelY 85318 -0.24260865 -0.83159506 -13.900452 -47.646887
    Oben rechts KachelX + 1 60476 KachelY 85318 -0.24256071 -0.83159506 -13.897705 -47.646887
    Unten links KachelX 60475 KachelY + 1 85319 -0.24260865 -0.83162735 -13.900452 -47.648737
    Unten rechts KachelX + 1 60476 KachelY + 1 85319 -0.24256071 -0.83162735 -13.897705 -47.648737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83159506--0.83162735) × R
    3.22899999999349e-05 × 6371000     		dl = 205.719589999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83159506--0.83162735) × R
    3.22899999999349e-05 × 6371000     		dr = 205.719589999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24260865--0.24256071) × cos(-0.83159506) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.673697857242766 × 6371000     		do = 205.76466658477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24260865--0.24256071) × cos(-0.83162735) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.67367399435878 × 6371000     		du = 205.75737824577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83159506)-sin(-0.83162735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673697857242766-0.67367399435878)×R²
    abs(-0.24256071--0.24260865)×2.38628839862587e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38628839862587e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38628839862587e-05×40589641000000     		ar = 42329.0731727881m²