Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60475 / 39946
↖ ↑ ↗
← N 57.311691°
W 13.900452°		 ← 164.95 m → N 57.311691°
W 13.897705°		 →
↑
164.95 m
↓
↑
164.95 m
↓
N 57.310207°
W 13.900452°		 ← 164.96 m →
27 208 m²		 N 57.310207°
W 13.897705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461391448974609 y=0.304767608642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461391448974609 × 217)
    floor (0.461391448974609 × 131072)
    floor (60475.5)     		tx = 60475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304767608642578 × 217)
    floor (0.304767608642578 × 131072)
    floor (39946.5)     		ty = 39946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60475 / 39946 ti = "17/60475/39946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60475/39946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60475 ÷ 217
    60475 ÷ 131072     		x = 0.461387634277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39946 ÷ 217
    39946 ÷ 131072     		y = 0.304763793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461387634277344 × 2 - 1) × π
    -0.0772247314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24260865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304763793945312 × 2 - 1) × π
    0.390472412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22670526127724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24260865} λ = -0.24260865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22670526127724))-π/2
    2×atan(3.40997602772224)-π/2
    2×1.28553701547291-π/2
    2.57107403094583-1.57079632675     		φ = 1.00027770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24260865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.900452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00027770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.311691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60475 KachelY 39946 -0.24260865 1.00027770 -13.900452 57.311691
    Oben rechts KachelX + 1 60476 KachelY 39946 -0.24256071 1.00027770 -13.897705 57.311691
    Unten links KachelX 60475 KachelY + 1 39947 -0.24260865 1.00025181 -13.900452 57.310207
    Unten rechts KachelX + 1 60476 KachelY + 1 39947 -0.24256071 1.00025181 -13.897705 57.310207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00027770-1.00025181) × R
    2.58900000000839e-05 × 6371000     		dl = 164.945190000535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00027770-1.00025181) × R
    2.58900000000839e-05 × 6371000     		dr = 164.945190000535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24260865--0.24256071) × cos(1.00027770) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540068608545337 × 6371000     		do = 164.950854415717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24260865--0.24256071) × cos(1.00025181) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540090397931876 × 6371000     		du = 164.957509455225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00027770)-sin(1.00025181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540068608545337-0.540090397931876)×R²
    abs(-0.24256071--0.24260865)×2.17893865385177e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17893865385177e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17893865385177e-05×40589641000000     		ar = 27208.3988823766m²