Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60474 / 41158
↖ ↑ ↗
← N 55.469513°
W 13.903198°		 ← 173.13 m → N 55.469513°
W 13.900452°		 →
↑
173.10 m
↓
↑
173.10 m
↓
N 55.467956°
W 13.903198°		 ← 173.14 m →
29 969 m²		 N 55.467956°
W 13.900452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461383819580078 y=0.314014434814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461383819580078 × 217)
    floor (0.461383819580078 × 131072)
    floor (60474.5)     		tx = 60474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314014434814453 × 217)
    floor (0.314014434814453 × 131072)
    floor (41158.5)     		ty = 41158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60474 / 41158 ti = "17/60474/41158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60474/41158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60474 ÷ 217
    60474 ÷ 131072     		x = 0.461380004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41158 ÷ 217
    41158 ÷ 131072     		y = 0.314010620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461380004882812 × 2 - 1) × π
    -0.077239990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24265659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314010620117188 × 2 - 1) × π
    0.371978759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16860573893773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24265659} λ = -0.24265659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16860573893773))-π/2
    2×atan(3.21750346991341)-π/2
    2×1.26946098380051-π/2
    2.53892196760103-1.57079632675     		φ = 0.96812564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24265659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.903198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96812564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.469513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60474 KachelY 41158 -0.24265659 0.96812564 -13.903198 55.469513
    Oben rechts KachelX + 1 60475 KachelY 41158 -0.24260865 0.96812564 -13.900452 55.469513
    Unten links KachelX 60474 KachelY + 1 41159 -0.24265659 0.96809847 -13.903198 55.467956
    Unten rechts KachelX + 1 60475 KachelY + 1 41159 -0.24260865 0.96809847 -13.900452 55.467956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96812564-0.96809847) × R
    2.71699999999653e-05 × 6371000     		dl = 173.100069999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96812564-0.96809847) × R
    2.71699999999653e-05 × 6371000     		dr = 173.100069999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24265659--0.24260865) × cos(0.96812564) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.566844670028641 × 6371000     		do = 173.12895280854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24265659--0.24260865) × cos(0.96809847) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.566867053136244 × 6371000     		du = 173.135789185743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96812564)-sin(0.96809847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566844670028641-0.566867053136244)×R²
    abs(-0.24260865--0.24265659)×2.23831076030523e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23831076030523e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23831076030523e-05×40589641000000     		ar = 29969.225540873m²