Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60474 / 40035
↖ ↑ ↗
← N 57.179436°
W 13.903198°		 ← 165.54 m → N 57.179436°
W 13.900452°		 →
↑
165.52 m
↓
↑
165.52 m
↓
N 57.177947°
W 13.903198°		 ← 165.55 m →
27 401 m²		 N 57.177947°
W 13.900452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461383819580078 y=0.305446624755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461383819580078 × 217)
    floor (0.461383819580078 × 131072)
    floor (60474.5)     		tx = 60474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305446624755859 × 217)
    floor (0.305446624755859 × 131072)
    floor (40035.5)     		ty = 40035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60474 / 40035 ti = "17/60474/40035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60474/40035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60474 ÷ 217
    60474 ÷ 131072     		x = 0.461380004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40035 ÷ 217
    40035 ÷ 131072     		y = 0.305442810058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461380004882812 × 2 - 1) × π
    -0.077239990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24265659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305442810058594 × 2 - 1) × π
    0.389114379882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.22243887721105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24265659} λ = -0.24265659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22243887721105))-π/2
    2×atan(3.39545875049195)-π/2
    2×1.28438287561694-π/2
    2.56876575123388-1.57079632675     		φ = 0.99796942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24265659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.903198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99796942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.179436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60474 KachelY 40035 -0.24265659 0.99796942 -13.903198 57.179436
    Oben rechts KachelX + 1 60475 KachelY 40035 -0.24260865 0.99796942 -13.900452 57.179436
    Unten links KachelX 60474 KachelY + 1 40036 -0.24265659 0.99794344 -13.903198 57.177947
    Unten rechts KachelX + 1 60475 KachelY + 1 40036 -0.24260865 0.99794344 -13.900452 57.177947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99796942-0.99794344) × R
    2.5979999999981e-05 × 6371000     		dl = 165.518579999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99796942-0.99794344) × R
    2.5979999999981e-05 × 6371000     		dr = 165.518579999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24265659--0.24260865) × cos(0.99796942) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542009864944508 × 6371000     		do = 165.543764087964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24265659--0.24260865) × cos(0.99794344) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542031697629362 × 6371000     		du = 165.550432351891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99796942)-sin(0.99794344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542009864944508-0.542031697629362)×R²
    abs(-0.24260865--0.24265659)×2.18326848537842e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18326848537842e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18326848537842e-05×40589641000000     		ar = 27401.1206219386m²