Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60473 / 85325
↖ ↑ ↗
← S 47.659838°
W 13.905945°		 ← 205.67 m → S 47.659838°
W 13.903198°		 →
↑
205.72 m
↓
↑
205.72 m
↓
S 47.661688°
W 13.905945°		 ← 205.66 m →
42 310 m²		 S 47.661688°
W 13.903198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461376190185547 y=0.650981903076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461376190185547 × 217)
    floor (0.461376190185547 × 131072)
    floor (60473.5)     		tx = 60473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650981903076172 × 217)
    floor (0.650981903076172 × 131072)
    floor (85325.5)     		ty = 85325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60473 / 85325 ti = "17/60473/85325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60473/85325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60473 ÷ 217
    60473 ÷ 131072     		x = 0.461372375488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85325 ÷ 217
    85325 ÷ 131072     		y = 0.650978088378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461372375488281 × 2 - 1) × π
    -0.0772552490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24270452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650978088378906 × 2 - 1) × π
    -0.301956176757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.948623306581291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24270452} λ = -0.24270452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.948623306581291))-π/2
    2×atan(0.387273813936662)-π/2
    2×0.369487616996896-π/2
    0.738975233993792-1.57079632675     		φ = -0.83182109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24270452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.905945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83182109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.659838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60473 KachelY 85325 -0.24270452 -0.83182109 -13.905945 -47.659838
    Oben rechts KachelX + 1 60474 KachelY 85325 -0.24265659 -0.83182109 -13.903198 -47.659838
    Unten links KachelX 60473 KachelY + 1 85326 -0.24270452 -0.83185338 -13.905945 -47.661688
    Unten rechts KachelX + 1 60474 KachelY + 1 85326 -0.24265659 -0.83185338 -13.903198 -47.661688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83182109--0.83185338) × R
    3.22899999999349e-05 × 6371000     		dl = 205.719589999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83182109--0.83185338) × R
    3.22899999999349e-05 × 6371000     		dr = 205.719589999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24270452--0.24265659) × cos(-0.83182109) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.673530802305286 × 6371000     		do = 205.670733059478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24270452--0.24265659) × cos(-0.83185338) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.673506934505007 × 6371000     		du = 205.663444739533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83182109)-sin(-0.83185338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673530802305286-0.673506934505007)×R²
    abs(-0.24265659--0.24270452)×2.3867800279298e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3867800279298e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3867800279298e-05×40589641000000     		ar = 42309.7492085584m²