Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60473 / 82849
↖ ↑ ↗
← S 42.877977°
W 13.905945°		 ← 223.77 m → S 42.877977°
W 13.903198°		 →
↑
223.81 m
↓
↑
223.81 m
↓
S 42.879990°
W 13.905945°		 ← 223.76 m →
50 082 m²		 S 42.879990°
W 13.903198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461376190185547 y=0.632091522216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461376190185547 × 217)
    floor (0.461376190185547 × 131072)
    floor (60473.5)     		tx = 60473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632091522216797 × 217)
    floor (0.632091522216797 × 131072)
    floor (82849.5)     		ty = 82849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60473 / 82849 ti = "17/60473/82849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60473/82849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60473 ÷ 217
    60473 ÷ 131072     		x = 0.461372375488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82849 ÷ 217
    82849 ÷ 131072     		y = 0.632087707519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461372375488281 × 2 - 1) × π
    -0.0772552490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24270452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632087707519531 × 2 - 1) × π
    -0.264175415039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.829931543122032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24270452} λ = -0.24270452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829931543122032))-π/2
    2×atan(0.436079137916079)-π/2
    2×0.411217227155122-π/2
    0.822434454310244-1.57079632675     		φ = -0.74836187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24270452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.905945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74836187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.877977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60473 KachelY 82849 -0.24270452 -0.74836187 -13.905945 -42.877977
    Oben rechts KachelX + 1 60474 KachelY 82849 -0.24265659 -0.74836187 -13.903198 -42.877977
    Unten links KachelX 60473 KachelY + 1 82850 -0.24270452 -0.74839700 -13.905945 -42.879990
    Unten rechts KachelX + 1 60474 KachelY + 1 82850 -0.24265659 -0.74839700 -13.903198 -42.879990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74836187--0.74839700) × R
    3.51299999999943e-05 × 6371000     		dl = 223.813229999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74836187--0.74839700) × R
    3.51299999999943e-05 × 6371000     		dr = 223.813229999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24270452--0.24265659) × cos(-0.74836187) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.732804499544071 × 6371000     		do = 223.770669573919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24270452--0.24265659) × cos(-0.74839700) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.732780595261234 × 6371000     		du = 223.763370113586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74836187)-sin(-0.74839700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732804499544071-0.732780595261234)×R²
    abs(-0.24265659--0.24270452)×2.39042828373837e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39042828373837e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39042828373837e-05×40589641000000     		ar = 50082.0194839179m²