Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60473 / 80839
↖ ↑ ↗
← S 38.700516°
W 13.905945°		 ← 238.31 m → S 38.700516°
W 13.903198°		 →
↑
238.34 m
↓
↑
238.34 m
↓
S 38.702659°
W 13.905945°		 ← 238.30 m →
56 798 m²		 S 38.702659°
W 13.903198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461376190185547 y=0.616756439208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461376190185547 × 217)
    floor (0.461376190185547 × 131072)
    floor (60473.5)     		tx = 60473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616756439208984 × 217)
    floor (0.616756439208984 × 131072)
    floor (80839.5)     		ty = 80839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60473 / 80839 ti = "17/60473/80839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60473/80839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60473 ÷ 217
    60473 ÷ 131072     		x = 0.461372375488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80839 ÷ 217
    80839 ÷ 131072     		y = 0.616752624511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461372375488281 × 2 - 1) × π
    -0.0772552490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24270452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616752624511719 × 2 - 1) × π
    -0.233505249023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.733578374885719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24270452} λ = -0.24270452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.733578374885719))-π/2
    2×atan(0.480187620752076)-π/2
    2×0.447672451602963-π/2
    0.895344903205927-1.57079632675     		φ = -0.67545142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24270452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.905945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67545142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.700516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60473 KachelY 80839 -0.24270452 -0.67545142 -13.905945 -38.700516
    Oben rechts KachelX + 1 60474 KachelY 80839 -0.24265659 -0.67545142 -13.903198 -38.700516
    Unten links KachelX 60473 KachelY + 1 80840 -0.24270452 -0.67548883 -13.905945 -38.702659
    Unten rechts KachelX + 1 60474 KachelY + 1 80840 -0.24265659 -0.67548883 -13.903198 -38.702659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67545142--0.67548883) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dl = 238.339110000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67545142--0.67548883) × R
    3.74100000000155e-05 × 6371000     		dr = 238.339110000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24270452--0.24265659) × cos(-0.67545142) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.780424780449074 × 6371000     		do = 238.312095220241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24270452--0.24265659) × cos(-0.67548883) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.780401389312454 × 6371000     		du = 238.304952455279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67545142)-sin(-0.67548883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780424780449074-0.780401389312454)×R²
    abs(-0.24265659--0.24270452)×2.33911366203099e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33911366203099e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33911366203099e-05×40589641000000     		ar = 56798.2414834463m²