Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60472 / 60044
↖ ↑ ↗
← S 81.630951°
E152.182617°		 ← 88.91 m → S 81.630951°
E152.188110°		 →
↑
88.94 m
↓
↑
88.94 m
↓
S 81.631751°
E152.182617°		 ← 88.90 m →
7 907 m²		 S 81.631751°
E152.188110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922737121582031 y=0.916206359863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922737121582031 × 216)
    floor (0.922737121582031 × 65536)
    floor (60472.5)     		tx = 60472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916206359863281 × 216)
    floor (0.916206359863281 × 65536)
    floor (60044.5)     		ty = 60044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60472 / 60044 ti = "16/60472/60044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60472/60044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60472 ÷ 216
    60472 ÷ 65536     		x = 0.9227294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60044 ÷ 216
    60044 ÷ 65536     		y = 0.91619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9227294921875 × 2 - 1) × π
    0.845458984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.65608773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91619873046875 × 2 - 1) × π
    -0.8323974609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.6150537480733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65608773} λ = 2.65608773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6150537480733))-π/2
    2×atan(0.0731638561739956)-π/2
    2×0.0730337263816419-π/2
    0.146067452763284-1.57079632675     		φ = -1.42472887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65608773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.182617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42472887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.630951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60472 KachelY 60044 2.65608773 -1.42472887 152.182617 -81.630951
    Oben rechts KachelX + 1 60473 KachelY 60044 2.65618361 -1.42472887 152.188110 -81.630951
    Unten links KachelX 60472 KachelY + 1 60045 2.65608773 -1.42474283 152.182617 -81.631751
    Unten rechts KachelX + 1 60473 KachelY + 1 60045 2.65618361 -1.42474283 152.188110 -81.631751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42472887--1.42474283) × R
    1.39599999999795e-05 × 6371000     		dl = 88.9391599998697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42472887--1.42474283) × R
    1.39599999999795e-05 × 6371000     		dr = 88.9391599998697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65608773-2.65618361) × cos(-1.42472887) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145548601990792 × 6371000     		do = 88.9085789379482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65608773-2.65618361) × cos(-1.42474283) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145534790635216 × 6371000     		du = 88.9001422509538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42472887)-sin(-1.42474283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145548601990792-0.145534790635216)×R²
    abs(2.65618361-2.65608773)×1.38113555759045e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.38113555759045e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.38113555759045e-05×40589641000000     		ar = 7907.07915179911m²