Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60472 / 41143
↖ ↑ ↗
← N 55.492860°
W 13.908691°		 ← 173.03 m → N 55.492860°
W 13.905945°		 →
↑
173.04 m
↓
↑
173.04 m
↓
N 55.491303°
W 13.908691°		 ← 173.03 m →
29 940 m²		 N 55.491303°
W 13.905945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461368560791016 y=0.313899993896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461368560791016 × 217)
    floor (0.461368560791016 × 131072)
    floor (60472.5)     		tx = 60472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313899993896484 × 217)
    floor (0.313899993896484 × 131072)
    floor (41143.5)     		ty = 41143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60472 / 41143 ti = "17/60472/41143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60472/41143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60472 ÷ 217
    60472 ÷ 131072     		x = 0.46136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41143 ÷ 217
    41143 ÷ 131072     		y = 0.313896179199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.0772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24275246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313896179199219 × 2 - 1) × π
    0.372207641601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.16932479243203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24275246} λ = -0.24275246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16932479243203))-π/2
    2×atan(3.21981785901144)-π/2
    2×1.26966471926523-π/2
    2.53932943853047-1.57079632675     		φ = 0.96853311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24275246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.908691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96853311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.492860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60472 KachelY 41143 -0.24275246 0.96853311 -13.908691 55.492860
    Oben rechts KachelX + 1 60473 KachelY 41143 -0.24270452 0.96853311 -13.905945 55.492860
    Unten links KachelX 60472 KachelY + 1 41144 -0.24275246 0.96850595 -13.908691 55.491303
    Unten rechts KachelX + 1 60473 KachelY + 1 41144 -0.24270452 0.96850595 -13.905945 55.491303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96853311-0.96850595) × R
    2.71600000000261e-05 × 6371000     		dl = 173.036360000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96853311-0.96850595) × R
    2.71600000000261e-05 × 6371000     		dr = 173.036360000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24275246--0.24270452) × cos(0.96853311) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.566508939134325 × 6371000     		do = 173.026411951703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24275246--0.24270452) × cos(0.96850595) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.566531320275306 × 6371000     		du = 173.033247728249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96853311)-sin(0.96850595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566508939134325-0.566531320275306)×R²
    abs(-0.24270452--0.24275246)×2.23811409811869e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23811409811869e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23811409811869e-05×40589641000000     		ar = 29940.4519287906m²