Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60472 / 41048
↖ ↑ ↗
← N 55.640399°
W 13.908691°		 ← 172.38 m → N 55.640399°
W 13.905945°		 →
↑
172.40 m
↓
↑
172.40 m
↓
N 55.638849°
W 13.908691°		 ← 172.38 m →
29 718 m²		 N 55.638849°
W 13.905945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461368560791016 y=0.313175201416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461368560791016 × 217)
    floor (0.461368560791016 × 131072)
    floor (60472.5)     		tx = 60472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313175201416016 × 217)
    floor (0.313175201416016 × 131072)
    floor (41048.5)     		ty = 41048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60472 / 41048 ti = "17/60472/41048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60472/41048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60472 ÷ 217
    60472 ÷ 131072     		x = 0.46136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41048 ÷ 217
    41048 ÷ 131072     		y = 0.31317138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.0772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24275246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31317138671875 × 2 - 1) × π
    0.3736572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17387879789594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24275246} λ = -0.24275246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17387879789594))-π/2
    2×atan(3.2345143657209)-π/2
    2×1.27095224284669-π/2
    2.54190448569337-1.57079632675     		φ = 0.97110816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24275246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.908691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97110816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.640399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60472 KachelY 41048 -0.24275246 0.97110816 -13.908691 55.640399
    Oben rechts KachelX + 1 60473 KachelY 41048 -0.24270452 0.97110816 -13.905945 55.640399
    Unten links KachelX 60472 KachelY + 1 41049 -0.24275246 0.97108110 -13.908691 55.638849
    Unten rechts KachelX + 1 60473 KachelY + 1 41049 -0.24270452 0.97108110 -13.905945 55.638849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97110816-0.97108110) × R
    2.70599999999677e-05 × 6371000     		dl = 172.399259999794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97110816-0.97108110) × R
    2.70599999999677e-05 × 6371000     		dr = 172.399259999794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24275246--0.24270452) × cos(0.97110816) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.564385078896221 × 6371000     		do = 172.377730366823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24275246--0.24270452) × cos(0.97108110) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.564407417034808 × 6371000     		du = 172.384553009332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97110816)-sin(0.97108110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564385078896221-0.564407417034808)×R²
    abs(-0.24270452--0.24275246)×2.23381385869859e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23381385869859e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23381385869859e-05×40589641000000     		ar = 29718.3812668613m²