Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 60471 / 60043
↖ ↑ ↗
← S 81.630152°
E152.177124°		 ← 88.91 m → S 81.630152°
E152.182617°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
S 81.630951°
E152.177124°		 ← 88.90 m →
7 901 m²		 S 81.630951°
E152.182617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922721862792969 y=0.916191101074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922721862792969 × 216)
    floor (0.922721862792969 × 65536)
    floor (60471.5)     		tx = 60471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916191101074219 × 216)
    floor (0.916191101074219 × 65536)
    floor (60043.5)     		ty = 60043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60471 / 60043 ti = "16/60471/60043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60471/60043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60471 ÷ 216
    60471 ÷ 65536     		x = 0.922714233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60043 ÷ 216
    60043 ÷ 65536     		y = 0.916183471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922714233398438 × 2 - 1) × π
    0.845428466796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65599186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916183471679688 × 2 - 1) × π
    -0.832366943359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61495787427406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65599186} λ = 2.65599186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61495787427406))-π/2
    2×atan(0.0731708710071181)-π/2
    2×0.0730407038610857-π/2
    0.146081407722171-1.57079632675     		φ = -1.42471492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65599186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.177124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42471492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.630152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60471 KachelY 60043 2.65599186 -1.42471492 152.177124 -81.630152
    Oben rechts KachelX + 1 60472 KachelY 60043 2.65608773 -1.42471492 152.182617 -81.630152
    Unten links KachelX 60471 KachelY + 1 60044 2.65599186 -1.42472887 152.177124 -81.630951
    Unten rechts KachelX + 1 60472 KachelY + 1 60044 2.65608773 -1.42472887 152.182617 -81.630951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42471492--1.42472887) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dl = 88.8754500002569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42471492--1.42472887) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dr = 88.8754500002569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65599186-2.65608773) × cos(-1.42471492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145562403424513 × 6371000     		do = 88.9077357834966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65599186-2.65608773) × cos(-1.42472887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145548601990792 × 6371000     		du = 88.8993060365717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42471492)-sin(-1.42472887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145562403424513-0.145548601990792)×R²
    abs(2.65608773-2.65599186)×1.38014337205117e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38014337205117e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38014337205117e-05×40589641000000     		ar = 7901.34042729526m²