Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60471 / 55939
↖ ↑ ↗
← N 25.475513°
W 13.911438°		 ← 275.73 m → N 25.475513°
W 13.908691°		 →
↑
275.74 m
↓
↑
275.74 m
↓
N 25.473033°
W 13.911438°		 ← 275.73 m →
76 029 m²		 N 25.473033°
W 13.908691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461360931396484 y=0.426784515380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461360931396484 × 217)
    floor (0.461360931396484 × 131072)
    floor (60471.5)     		tx = 60471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426784515380859 × 217)
    floor (0.426784515380859 × 131072)
    floor (55939.5)     		ty = 55939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60471 / 55939 ti = "17/60471/55939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60471/55939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60471 ÷ 217
    60471 ÷ 131072     		x = 0.461357116699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55939 ÷ 217
    55939 ÷ 131072     		y = 0.426780700683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461357116699219 × 2 - 1) × π
    -0.0772857666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24280040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426780700683594 × 2 - 1) × π
    0.146438598632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.460050425653679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24280040} λ = -0.24280040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.460050425653679))-π/2
    2×atan(1.58415386497463)-π/2
    2×1.00771395203239-π/2
    2.01542790406479-1.57079632675     		φ = 0.44463158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24280040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.911438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44463158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.475513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60471 KachelY 55939 -0.24280040 0.44463158 -13.911438 25.475513
    Oben rechts KachelX + 1 60472 KachelY 55939 -0.24275246 0.44463158 -13.908691 25.475513
    Unten links KachelX 60471 KachelY + 1 55940 -0.24280040 0.44458830 -13.911438 25.473033
    Unten rechts KachelX + 1 60472 KachelY + 1 55940 -0.24275246 0.44458830 -13.908691 25.473033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44463158-0.44458830) × R
    4.32800000000344e-05 × 6371000     		dl = 275.736880000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44463158-0.44458830) × R
    4.32800000000344e-05 × 6371000     		dr = 275.736880000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24280040--0.24275246) × cos(0.44463158) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902769193427645 × 6371000     		do = 275.72894895182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24280040--0.24275246) × cos(0.44458830) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902787808405596 × 6371000     		du = 275.734634445236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44463158)-sin(0.44458830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902769193427645-0.902787808405596)×R²
    abs(-0.24275246--0.24280040)×1.86149779513034e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86149779513034e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86149779513034e-05×40589641000000     		ar = 76029.4239716581m²