Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60470 / 55948
↖ ↑ ↗
← N 25.453195°
W 13.914184°		 ← 275.72 m → N 25.453195°
W 13.911438°		 →
↑
275.80 m
↓
↑
275.80 m
↓
N 25.450715°
W 13.914184°		 ← 275.73 m →
76 045 m²		 N 25.450715°
W 13.911438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461353302001953 y=0.426853179931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461353302001953 × 217)
    floor (0.461353302001953 × 131072)
    floor (60470.5)     		tx = 60470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426853179931641 × 217)
    floor (0.426853179931641 × 131072)
    floor (55948.5)     		ty = 55948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60470 / 55948 ti = "17/60470/55948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60470/55948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60470 ÷ 217
    60470 ÷ 131072     		x = 0.461349487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55948 ÷ 217
    55948 ÷ 131072     		y = 0.426849365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461349487304688 × 2 - 1) × π
    -0.077301025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24284833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426849365234375 × 2 - 1) × π
    0.14630126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.459618993557098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24284833} λ = -0.24284833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459618993557098))-π/2
    2×atan(1.58347055756234)-π/2
    2×1.00751919216392-π/2
    2.01503838432783-1.57079632675     		φ = 0.44424206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24284833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.914184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44424206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.453195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60470 KachelY 55948 -0.24284833 0.44424206 -13.914184 25.453195
    Oben rechts KachelX + 1 60471 KachelY 55948 -0.24280040 0.44424206 -13.911438 25.453195
    Unten links KachelX 60470 KachelY + 1 55949 -0.24284833 0.44419877 -13.914184 25.450715
    Unten rechts KachelX + 1 60471 KachelY + 1 55949 -0.24280040 0.44419877 -13.911438 25.450715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44424206-0.44419877) × R
    4.32899999999736e-05 × 6371000     		dl = 275.800589999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44424206-0.44419877) × R
    4.32899999999736e-05 × 6371000     		dr = 275.800589999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24284833--0.24280040) × cos(0.44424206) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.902936667347954 × 6371000     		do = 275.722573702815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24284833--0.24280040) × cos(0.44419877) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.902955271402414 × 6371000     		du = 275.728254674651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44424206)-sin(0.44419877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902936667347954-0.902955271402414)×R²
    abs(-0.24280040--0.24284833)×1.86040544607469e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86040544607469e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86040544607469e-05×40589641000000     		ar = 76045.2319231289m²