Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60469 / 55949
↖ ↑ ↗
← N 25.450715°
W 13.916931°		 ← 275.79 m → N 25.450715°
W 13.914184°		 →
↑
275.74 m
↓
↑
275.74 m
↓
N 25.448235°
W 13.916931°		 ← 275.79 m →
76 045 m²		 N 25.448235°
W 13.914184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461345672607422 y=0.426860809326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461345672607422 × 217)
    floor (0.461345672607422 × 131072)
    floor (60469.5)     		tx = 60469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426860809326172 × 217)
    floor (0.426860809326172 × 131072)
    floor (55949.5)     		ty = 55949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60469 / 55949 ti = "17/60469/55949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60469/55949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60469 ÷ 217
    60469 ÷ 131072     		x = 0.461341857910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55949 ÷ 217
    55949 ÷ 131072     		y = 0.426856994628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461341857910156 × 2 - 1) × π
    -0.0773162841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24289627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426856994628906 × 2 - 1) × π
    0.146286010742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.459571056657478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24289627} λ = -0.24289627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459571056657478))-π/2
    2×atan(1.5833946527125)-π/2
    2×1.00749754994877-π/2
    2.01499509989754-1.57079632675     		φ = 0.44419877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24289627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.916931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44419877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.450715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60469 KachelY 55949 -0.24289627 0.44419877 -13.916931 25.450715
    Oben rechts KachelX + 1 60470 KachelY 55949 -0.24284833 0.44419877 -13.914184 25.450715
    Unten links KachelX 60469 KachelY + 1 55950 -0.24289627 0.44415549 -13.916931 25.448235
    Unten rechts KachelX + 1 60470 KachelY + 1 55950 -0.24284833 0.44415549 -13.914184 25.448235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44419877-0.44415549) × R
    4.32800000000344e-05 × 6371000     		dl = 275.736880000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44419877-0.44415549) × R
    4.32800000000344e-05 × 6371000     		dr = 275.736880000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24289627--0.24284833) × cos(0.44419877) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902955271402414 × 6371000     		do = 275.785781954962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24289627--0.24284833) × cos(0.44415549) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902973869467761 × 6371000     		du = 275.791462282833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44419877)-sin(0.44415549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902955271402414-0.902973869467761)×R²
    abs(-0.24284833--0.24289627)×1.85980653462092e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85980653462092e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85980653462092e-05×40589641000000     		ar = 76045.0942144445m²