Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60469 / 39949
↖ ↑ ↗
← N 57.307240°
W 13.916931°		 ← 164.97 m → N 57.307240°
W 13.914184°		 →
↑
164.95 m
↓
↑
164.95 m
↓
N 57.305757°
W 13.916931°		 ← 164.98 m →
27 212 m²		 N 57.305757°
W 13.914184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461345672607422 y=0.304790496826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461345672607422 × 217)
    floor (0.461345672607422 × 131072)
    floor (60469.5)     		tx = 60469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304790496826172 × 217)
    floor (0.304790496826172 × 131072)
    floor (39949.5)     		ty = 39949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60469 / 39949 ti = "17/60469/39949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60469/39949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60469 ÷ 217
    60469 ÷ 131072     		x = 0.461341857910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39949 ÷ 217
    39949 ÷ 131072     		y = 0.304786682128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461341857910156 × 2 - 1) × π
    -0.0773162841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24289627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304786682128906 × 2 - 1) × π
    0.390426635742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.22656145057838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24289627} λ = -0.24289627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22656145057838))-π/2
    2×atan(3.40948567194665)-π/2
    2×1.28549817930099-π/2
    2.57099635860198-1.57079632675     		φ = 1.00020003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24289627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.916931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00020003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.307240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60469 KachelY 39949 -0.24289627 1.00020003 -13.916931 57.307240
    Oben rechts KachelX + 1 60470 KachelY 39949 -0.24284833 1.00020003 -13.914184 57.307240
    Unten links KachelX 60469 KachelY + 1 39950 -0.24289627 1.00017414 -13.916931 57.305757
    Unten rechts KachelX + 1 60470 KachelY + 1 39950 -0.24284833 1.00017414 -13.914184 57.305757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00020003-1.00017414) × R
    2.58900000000839e-05 × 6371000     		dl = 164.945190000535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00020003-1.00017414) × R
    2.58900000000839e-05 × 6371000     		dr = 164.945190000535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24289627--0.24284833) × cos(1.00020003) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540133975618883 × 6371000     		do = 164.970819202527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24289627--0.24284833) × cos(1.00017414) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540155763919323 × 6371000     		du = 164.977473910312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00020003)-sin(1.00017414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540133975618883-0.540155763919323)×R²
    abs(-0.24284833--0.24289627)×2.17883004397512e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17883004397512e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17883004397512e-05×40589641000000     		ar = 27211.6919503877m²