Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60466 / 41046
↖ ↑ ↗
← N 55.643499°
W 13.925171°		 ← 172.36 m → N 55.643499°
W 13.922424°		 →
↑
172.40 m
↓
↑
172.40 m
↓
N 55.641949°
W 13.925171°		 ← 172.37 m →
29 716 m²		 N 55.641949°
W 13.922424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461322784423828 y=0.313159942626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461322784423828 × 217)
    floor (0.461322784423828 × 131072)
    floor (60466.5)     		tx = 60466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313159942626953 × 217)
    floor (0.313159942626953 × 131072)
    floor (41046.5)     		ty = 41046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60466 / 41046 ti = "17/60466/41046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60466/41046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60466 ÷ 217
    60466 ÷ 131072     		x = 0.461318969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41046 ÷ 217
    41046 ÷ 131072     		y = 0.313156127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461318969726562 × 2 - 1) × π
    -0.077362060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24304008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313156127929688 × 2 - 1) × π
    0.373687744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17397467169518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24304008} λ = -0.24304008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17397467169518))-π/2
    2×atan(3.23482448576779)-π/2
    2×1.27097929664699-π/2
    2.54195859329398-1.57079632675     		φ = 0.97116227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24304008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.925171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97116227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.643499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60466 KachelY 41046 -0.24304008 0.97116227 -13.925171 55.643499
    Oben rechts KachelX + 1 60467 KachelY 41046 -0.24299214 0.97116227 -13.922424 55.643499
    Unten links KachelX 60466 KachelY + 1 41047 -0.24304008 0.97113521 -13.925171 55.641949
    Unten rechts KachelX + 1 60467 KachelY + 1 41047 -0.24299214 0.97113521 -13.922424 55.641949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97116227-0.97113521) × R
    2.70599999999677e-05 × 6371000     		dl = 172.399259999794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97116227-0.97113521) × R
    2.70599999999677e-05 × 6371000     		dr = 172.399259999794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24304008--0.24299214) × cos(0.97116227) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.564340409634683 × 6371000     		do = 172.364087224563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24304008--0.24299214) × cos(0.97113521) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.564362748599636 × 6371000     		du = 172.370910119465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97116227)-sin(0.97113521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564340409634683-0.564362748599636)×R²
    abs(-0.24299214--0.24304008)×2.23389649526284e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23389649526284e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23389649526284e-05×40589641000000     		ar = 29716.029220847m²